Номер 451, страница 100, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 451, страница 100.

Условие 2023.

451 Объясни, почему равносильны высказывания.

$|x|=a$, где $a>0 \Leftrightarrow x=a \text{ или } x=-a$

$|x|<a$, где $a>0 \Leftrightarrow -a<x<a$

Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства:

а) $|x|=5$;

б) $|y|=9$;

в) $|z|=0,4$;

г) $|t|=28$;

д) $|x|<2$;

е) $|y|<7$;

ж) $|z| \leq 6$;

з) $|t| \leq 15$.

Решение 2 (2023).

Данные высказывания являются равносильными, что следует из определения модуля (абсолютной величины) числа и его геометрического смысла.

Объяснение для $|x| = a \Leftrightarrow x = a$ или $x = -a$ (где $a > 0$):
Модуль числа $|x|$ по определению — это расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = a$ означает, что мы ищем все числа, расстояние от которых до нуля равно положительному числу $a$. На числовой прямой существуют ровно две такие точки: одна находится справа от нуля (это точка $a$), а другая — слева от нуля (это точка $-a$). Таким образом, уравнение $|x| = a$ имеет два корня: $a$ и $-a$.

Объяснение для $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ (где $a > 0$):
Неравенство $|x| < a$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой должно быть меньше, чем $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, которые расположены между точками $-a$ и $a$, не включая сами эти точки. Это множество точек представляет собой интервал, который записывается в виде двойного неравенства $-a < x < a$.

а) $|x| = 5$
Используя первое правило, получаем, что $x$ может быть равен $5$ или $-5$.
Ответ: $x = 5; x = -5$.

б) $|y| = 9$
Аналогично, $y$ может быть равен $9$ или $-9$.
Ответ: $y = 9; y = -9$.

в) $|z| = 0,4$
$z$ может быть равен $0,4$ или $-0,4$.
Ответ: $z = 0,4; z = -0,4$.

г) $|t| = 28$
$t$ может быть равен $28$ или $-28$.
Ответ: $t = 28; t = -28$.

д) $|x| < 2$
Используя второе правило, получаем двойное неравенство.
Ответ: $-2 < x < 2$.

е) $|y| < 7$
Аналогично, получаем двойное неравенство.
Ответ: $-7 < y < 7$.

ж) $|z| \leq 6$
Это нестрогое неравенство означает, что расстояние от $z$ до нуля меньше или равно $6$. Это соответствует всем точкам от $-6$ до $6$ включительно.
Ответ: $-6 \leq z \leq 6$.

з) $|t| \leq 15$
Аналогично, расстояние от $t$ до нуля меньше или равно $15$. Это соответствует всем точкам от $-15$ до $15$ включительно.
Ответ: $-15 \leq t \leq 15$.

Условие 2010-2022.

451 Объясни, почему равносильны высказывания:

$|x| = a$, где $a > 0 \Leftrightarrow x = a$ или $x = -a$

$|x| < a$, где $a > 0 \Leftrightarrow -a < x < a$

Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства:

а) $|x| = 5;$

б) $|y| = 9;$

в) $|z| = 0,4;$

г) $|t| = 28;$

д) $|x| < 2;$

е) $|y| < 7;$

ж) $|z| \le 6;$

з) $|t| \le 15.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).