Номер 457, страница 102, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 457, страница 102.

Условие 2023.

457 В прямоугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины $A$.

Известно, что $AB = 24$ см, $AD = 15$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки $MD$ и $NC$ делят прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 2 (2023).

Отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD на три фигуры: треугольник AMD, трапецию MNCD и треугольник NBC. Найдем площади каждой из этих фигур, чтобы определить их отношение.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD?

Сначала найдем длины отрезков AM, MN и NB. По условию, точки M и N делят сторону AB в отношении $2 : 1 : 3$. Это означает, что вся сторона AB разделена на $2 + 1 + 3 = 6$ равных частей. Длина стороны AB равна 24 см. Следовательно, длина одной части составляет $24 / 6 = 4$ см. Теперь можем найти длины отрезков: $AM = 2 \cdot 4 = 8$ см. $MN = 1 \cdot 4 = 4$ см. $NB = 3 \cdot 4 = 12$ см. Для проверки сложим их длины: $8 + 4 + 12 = 24$ см, что соответствует длине AB.

Далее вычислим площади получившихся фигур. Высотой для всех трех фигур является сторона AD (или BC), длина которой равна 15 см.

Площадь прямоугольного треугольника AMD ($S_{AMD}$) вычисляется по формуле: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см².

Фигура MNCD является трапецией, так как MN параллельна DC (поскольку AB || DC). Основания трапеции — MN и DC, а высота — AD. Длина DC равна длине AB, то есть 24 см. Площадь трапеции ($S_{MNCD}$): $S_{MNCD} = \frac{MN + DC}{2} \cdot AD = \frac{4 + 24}{2} \cdot 15 = \frac{28}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см².

Площадь прямоугольного треугольника NBC ($S_{NBC}$) вычисляется по формуле: $S_{NBC} = \frac{1}{2} \cdot NB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90$ см².

Теперь найдем отношение этих площадей: $S_{AMD} : S_{MNCD} : S_{NBC}$. $60 : 210 : 90$. Чтобы упростить это отношение, разделим все его члены на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 10: $6 : 21 : 9$. Затем разделим на 3: $2 : 7 : 3$.

Ответ: Отношение площадей фигур равно $2 : 7 : 3$.

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Чтобы определить лишние данные, решим задачу в общем виде. Пусть длина стороны AB равна $L$, а длина AD равна $H$. Из условия, что AB делится в отношении $2:1:3$, получаем: $AM = \frac{2}{6} L = \frac{1}{3} L$; $MN = \frac{1}{6} L$; $NB = \frac{3}{6} L = \frac{1}{2} L$.

Выразим площади фигур через $L$ и $H$: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} L) \cdot H = \frac{1}{6} LH$. $S_{MNCD} = \frac{MN + DC}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{6} L + L}{2} \cdot H = \frac{\frac{7}{6} L}{2} \cdot H = \frac{7}{12} LH$. $S_{NBC} = \frac{1}{2} \cdot NB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} L) \cdot H = \frac{1}{4} LH$.

Найдем отношение этих площадей: $S_{AMD} : S_{MNCD} : S_{NBC} = \frac{1}{6} LH : \frac{7}{12} LH : \frac{1}{4} LH$. Мы можем сократить общий множитель $LH$: $\frac{1}{6} : \frac{7}{12} : \frac{1}{4}$. Приведя дроби к общему знаменателю 12, получим: $\frac{2}{12} : \frac{7}{12} : \frac{3}{12}$, что эквивалентно отношению $2 : 7 : 3$.

Этот результат совпадает с тем, что мы получили, используя конкретные размеры. Это доказывает, что отношение площадей зависит только от пропорции, в которой разделена сторона AB, а не от конкретных длин сторон прямоугольника. Следовательно, данные о длинах сторон $AB = 24$ см и $AD = 15$ см являются избыточными для нахождения отношения.

Ответ: Лишние данные — $AB = 24$ см и $AD = 15$ см.

Условие 2010-2022.

457 В прямоугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в отношении $2 : 1 : 3$, считая от вершины $A$. Известно, что $AB = 24$ см, $AD = 15$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки $MD$ и $NC$ делят прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).