Номер 456, страница 101, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 456, страница 101.

Условие 2023.

456 В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 6$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 4$, считая соответственно от вершин $A$ и $D$. Известно, что $AB = 14$ см, $AD = 5$ см.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MN$ делит прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 2 (2023).

Отрезок MN делит прямоугольник ABCD на две фигуры: AMND и MBCN. Поскольку AB || CD (как противоположные стороны прямоугольника), то и AM || DN. Также AD ⊥ AB и, следовательно, AD ⊥ CD. Это означает, что AMND и MBCN являются прямоугольными трапециями.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD?

Найдем площади этих трапеций. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию, точка M делит сторону AB в отношении $AM:MB = 1:6$. Это значит, что сторона AB разделена на $1+6=7$ равных частей. Тогда: $AM = \frac{1}{7} AB$ и $MB = \frac{6}{7} AB$.

Точка N делит сторону CD в отношении $DN:NC = 3:4$. Это значит, что сторона CD разделена на $3+4=7$ равных частей. Тогда: $DN = \frac{3}{7} CD$ и $NC = \frac{4}{7} CD$.

Так как ABCD — прямоугольник, то $AB = CD$ и $AD = BC$.

Найдем площадь трапеции AMND ($S_{AMND}$). Ее основания — AM и DN, а высота — AD. $S_{AMND} = \frac{AM + DN}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{7}AB + \frac{3}{7}CD}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{7}AB + \frac{3}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{\frac{4}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{2}{7} AB \cdot AD$

Теперь найдем площадь трапеции MBCN ($S_{MBCN}$). Ее основания — MB и NC, а высота — BC. $S_{MBCN} = \frac{MB + NC}{2} \cdot BC = \frac{\frac{6}{7}AB + \frac{4}{7}CD}{2} \cdot BC = \frac{\frac{6}{7}AB + \frac{4}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{\frac{10}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{5}{7} AB \cdot AD$

Найдем отношение площадей: $\frac{S_{AMND}}{S_{MBCN}} = \frac{\frac{2}{7} AB \cdot AD}{\frac{5}{7} AB \cdot AD} = \frac{2/7}{5/7} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей фигур равно $2:5$.

Ответ: $2:5$

Найди лишние данные в условии этой задачи.

При вычислении отношения площадей мы использовали только пропорции, в которых точки M и N делят стороны прямоугольника. Как видно из решения, произведение $AB \cdot AD$ (площадь прямоугольника) сократилось. Это означает, что для нахождения отношения площадей конкретные значения длин сторон прямоугольника не требуются.

Следовательно, данные о длинах сторон $AB = 14$ см и $AD = 5$ см являются лишними для нахождения отношения площадей.

Ответ: лишними данными являются длины сторон прямоугольника: $AB=14$ см и $AD=5$ см.

Условие 2010-2022.

456 В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 6$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 4$, считая соответственно от вершин $A$ и $D$. Известно, что $AB = 14$ см, $AD = 5$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MN$ делит прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).