Номер 454, страница 101, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 454, страница 101.

Условие 2023.

454 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25 %, а вторую – увеличили на 60 %. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40 %. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?

Решение 2 (2023).

1) Пусть исходные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его исходная площадь равна $S = a \cdot b$.
После уменьшения одной стороны на 25%, ее новая длина стала $a_1 = a - 0.25a = 0.75a$.
После увеличения второй стороны на 60%, ее новая длина стала $b_1 = b + 0.60b = 1.6b$.
Новая площадь прямоугольника будет равна $S_1 = a_1 \cdot b_1 = (0.75a) \cdot (1.6b) = 1.2ab$.
Сравним новую площадь с исходной: $S_1 = 1.2S$. Так как $1.2 > 1$, площадь увеличилась.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, вычислим разницу в процентах:
$\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% = \frac{1.2S - S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.2S}{S} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.
Ответ: площадь увеличилась на 20 %.

2) Пусть исходная ширина прямоугольника равна $w$. Тогда, согласно условию, его длина равна $l = 1.5w$.
Исходный периметр прямоугольника равен $P = 2(l + w) = 2(1.5w + w) = 2(2.5w) = 5w$.
Длину уменьшили на 40%, новая длина стала $l_1 = l - 0.4l = 0.6l = 0.6 \cdot (1.5w) = 0.9w$.
Ширину увеличили на 40%, новая ширина стала $w_1 = w + 0.4w = 1.4w$.
Новый периметр прямоугольника будет равен $P_1 = 2(l_1 + w_1) = 2(0.9w + 1.4w) = 2(2.3w) = 4.6w$.
Сравним новый периметр с исходным: $P_1 = 4.6w$, а $P = 5w$. Так как $4.6w < 5w$, периметр уменьшился.
Чтобы найти, на сколько процентов уменьшился периметр, вычислим процентное изменение:
$\frac{P - P_1}{P} \cdot 100\% = \frac{5w - 4.6w}{5w} \cdot 100\% = \frac{0.4w}{5w} \cdot 100\% = 0.08 \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: периметр уменьшился на 8 %.

Условие 2010-2022.

454 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25%, а вторую – увеличили на 60%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).