Номер 388, страница 91, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 388, страница 91.

Условие 2023.

388 Построй высоты треугольника $ABC$, проведённые к сторонам $a, b \text{ и } c$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 2 (2023).

а) Остроугольный треугольник

В остроугольном треугольнике $ABC$ все углы острые. Высота, проведённая к стороне, — это перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на эту сторону.

1. Проведём высоту $h_a$ из вершины $A$ к стороне $a$ ($BC$). Так как $\angle B$ и $\angle C$ острые, основание высоты будет лежать на отрезке $BC$.

2. Проведём высоту $h_b$ из вершины $B$ к стороне $b$ ($AC$). Основание высоты будет лежать на отрезке $AC$.

3. Проведём высоту $h_c$ из вершины $C$ к стороне $c$ ($AB$). Основание высоты будет лежать на отрезке $AB$.

Все три высоты пересекутся в одной точке, которая расположена внутри треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ: Все три высоты пересекаются в одной точке внутри треугольника.

б) Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.

1. Высота $h_a$, проведённая из вершины $A$ к стороне $a$ ($BC$), является перпендикуляром к прямой $BC$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Следовательно, высота $h_a$ совпадает с катетом $AC$.

2. Аналогично, высота $h_b$, проведённая из вершины $B$ к стороне $b$ ($AC$), совпадает с катетом $BC$.

3. Высота $h_c$, проведённая из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на отрезок $AB$.

Все три высоты (катет $AC$, катет $BC$ и перпендикуляр $CH_c$) пересекаются в одной точке — вершине прямого угла $C$.

Ответ: Две высоты совпадают с катетами, а третья проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла.

в) Тупоугольный треугольник

В тупоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C$ — тупой, а $\angle A$ и $\angle B$ — острые.

1. Высота $h_c$, проведённая из вершины тупого угла $C$ к стороне $c$ ($AB$), опускается на отрезок $AB$, так как прилежащие к этой стороне углы $A$ и $B$ острые.

2. Высота $h_a$, проведённая из вершины острого угла $A$ к стороне $a$ ($BC$), опускается на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как $\angle C$ тупой, основание высоты окажется на продолжении стороны $BC$ за вершину $C$.

3. Аналогично, высота $h_b$, проведённая из вершины острого угла $B$ к стороне $b$ ($AC$), опустится на продолжение стороны $AC$ за вершину $C$.

Для нахождения точки пересечения нужно продлить отрезки высот. Прямые, содержащие все три высоты, пересекутся в одной точке, которая лежит вне треугольника.

Ответ: Одна высота (из вершины тупого угла) опускается на противолежащую сторону, а две другие (из вершин острых углов) — на продолжения противолежащих сторон. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

---

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Наблюдение, которое можно сделать на основе трёх случаев: во всех типах треугольников три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Гипотеза: Во всяком треугольнике прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре). Расположение этой точки зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.

Условие 2010-2022.

388 Построй высоты треугольника $ABC$, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).