Номер 394, страница 92, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Задачи на построение. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 394, страница 92.

Условие 2023.

394 a) В треугольнике первая сторона на 50 % больше второй, но на 25 % меньше третьей. Меньшую сторону увеличили на 40 %, а большую увеличили на 25 %. Как изменился периметр треугольника и на сколько процентов?

б) Одна сторона прямоугольника на 200 % больше второй. Меньшую сторону увеличили на 30 %, а большую уменьшили на 30 %. Как изменился периметр прямоугольника и на сколько процентов?

Решение 2 (2023).

а)

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a$ — первая сторона, $b$ — вторая, $c$ — третья.

По условию, первая сторона на 50% больше второй, что можно записать как:
$a = b + 0.5 \cdot b = 1.5b$

Также первая сторона на 25% меньше третьей, что означает:
$a = c - 0.25 \cdot c = 0.75c$
Из этого соотношения выразим третью сторону $c$ через первую $a$:
$c = \frac{a}{0.75} = \frac{a}{3/4} = \frac{4}{3}a$

Теперь выразим все стороны через вторую сторону $b$:
$a = 1.5b$
$b = b$
$c = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3}(1.5b) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}b = 2b$

Таким образом, длины сторон относятся как $1.5:1:2$. Сравним их, чтобы найти меньшую и большую стороны: $b < 1.5b < 2b$. Следовательно, меньшая сторона — это $b$, а большая — $c = 2b$.

Начальный периметр треугольника $P_1$ равен сумме длин его сторон:
$P_1 = a + b + c = 1.5b + b + 2b = 4.5b$

Теперь найдем новые длины сторон. Меньшую сторону ($b$) увеличили на 40%, а большую ($c$) увеличили на 25%. Средняя сторона ($a$) не изменилась.
Новая длина меньшей стороны: $b_{new} = b \cdot (1 + 0.40) = 1.4b$
Новая длина большей стороны: $c_{new} = c \cdot (1 + 0.25) = 2b \cdot 1.25 = 2.5b$
Длина средней стороны не изменилась: $a_{new} = 1.5b$

Новый периметр треугольника $P_2$ равен:
$P_2 = a_{new} + b_{new} + c_{new} = 1.5b + 1.4b + 2.5b = 5.4b$

Чтобы найти, на сколько процентов изменился периметр, воспользуемся формулой:
$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \frac{5.4b - 4.5b}{4.5b} \cdot 100\% = \frac{0.9b}{4.5b} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Поскольку результат положительный, периметр увеличился.

Ответ: Периметр треугольника увеличился на 20%.

б)

Обозначим стороны прямоугольника как $x$ и $y$. Пусть $y$ — меньшая сторона.

По условию, одна сторона на 200% больше второй. Это значит, что большая сторона $x$ равна:
$x = y + 2.00 \cdot y = 3y$

Итак, стороны прямоугольника — $y$ (меньшая) и $3y$ (большая).

Начальный периметр прямоугольника $P_1$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (длина + ширина)$:
$P_1 = 2 \cdot (3y + y) = 2 \cdot (4y) = 8y$

Теперь найдем новые длины сторон. Меньшую сторону ($y$) увеличили на 30%, а большую ($3y$) уменьшили на 30%.
Новая длина меньшей стороны: $y_{new} = y \cdot (1 + 0.30) = 1.3y$
Новая длина большей стороны: $x_{new} = 3y \cdot (1 - 0.30) = 3y \cdot 0.7 = 2.1y$

Новый периметр прямоугольника $P_2$ равен:
$P_2 = 2 \cdot (x_{new} + y_{new}) = 2 \cdot (2.1y + 1.3y) = 2 \cdot (3.4y) = 6.8y$

Чтобы найти, на сколько процентов изменился периметр, воспользуемся формулой:
$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \frac{6.8y - 8y}{8y} \cdot 100\% = \frac{-1.2y}{8y} \cdot 100\% = -0.15 \cdot 100\% = -15\%$

Поскольку результат отрицательный, периметр уменьшился.

Ответ: Периметр прямоугольника уменьшился на 15%.

Условие 2010-2022.

394 а) В треугольнике первая сторона на 50% больше второй, но на 25% меньше третьей. Меньшую сторону увеличили на 40%, а большую – увеличили на 25%. Как изменился периметр треугольника и на сколько процентов?

б) Одна сторона прямоугольника на 200% больше второй. Меньшую сторо- ну увеличили на 30%, а большую – уменьшили на 30%. Как изменился периметр прямоугольника и на сколько процентов?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).