Номер 401, страница 93, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 401, страница 93.

Условие 2023.

D 401 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$. Сколько решений имеет эта задача?

$a$

$b$

Решение 2 (2023).

Построй треугольник ABC по двум сторонам a и b

Задача в такой постановке не имеет единственного решения, так как для однозначного определения треугольника необходимо знать три его элемента (например, две стороны и угол между ними). Имея только длины двух сторон $a$ и $b$, мы можем построить бесконечно много различных треугольников.

Чтобы выполнить построение, необходимо задать третий параметр. Например, можно выбрать произвольную точку для третьей вершины, соблюдая одно из условий. Ниже приведён общий алгоритм построения одного из возможных треугольников.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $C$, которая будет одной из вершин треугольника.
2. Проведём из точки $C$ произвольный луч и отложим на нём отрезок $CA$, длина которого равна $b$.
3. Теперь нужно найти положение третьей вершины $B$. Мы знаем, что её расстояние от точки $C$ должно быть равно $a$. Геометрическим местом точек, удалённых от $C$ на расстояние $a$, является окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
4. Выберем на построенной окружности любую точку $B$, не лежащую на прямой $AC$ (чтобы треугольник не был вырожденным).
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ будет иметь стороны $CA = b$ и $CB = a$, что удовлетворяет условию. Поскольку точку $B$ на окружности можно выбрать бесконечным числом способов, то и треугольников можно построить бесконечно много.

Сколько решений имеет эта задача?

Эта задача имеет бесконечное множество решений.

Причина в том, что по двум сторонам треугольник однозначно не определяется. Третий независимый элемент, который зафиксировал бы форму и размеры треугольника, может быть выбран произвольно в определённых границах:

• Выбор третьей стороны: Длина третьей стороны $c$ (в нашем построении это сторона $AB$) должна удовлетворять неравенству треугольника: $|a - b| < c < a + b$. Любое число из этого интервала может быть длиной третьей стороны. Поскольку в этом интервале существует бесконечное множество действительных чисел, существует и бесконечное множество возможных треугольников.
• Выбор угла: Угол $\gamma = \angle ACB$ между сторонами $a$ и $b$ может принимать любое значение в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ для невырожденного треугольника. Каждому значению угла соответствует свой уникальный треугольник. Так как в этом интервале бесконечно много значений, то и решений бесконечно много.

Таким образом, по двум заданным сторонам можно построить не один конкретный треугольник, а целое семейство различных треугольников.

Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений.

Условие 2010-2022.

401 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$. Сколько решений имеет эта задача?

$a$

$b$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).