Номер 403, страница 94, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Задачи на построение. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 403, страница 94.

Условие 2023.

403 Построй треугольник ABC: 1) по стороне $a$ и прилежащему к ней углу $B$; 2) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач?

1) $a$

$B$

2) $a$

$B$

$C$

Решение 2 (2023).

1) по стороне a и прилежащему к ней углу B

Для построения треугольника по стороне и одному прилежащему к ней углу необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отложить от точки B отрезок BC, длина которого равна длине данной стороны $a$.
3. От луча BC построить угол, равный данному углу B. Для этого от точки B проведём луч BD так, чтобы угол, образованный лучами BC и BD, был равен данному углу B.

Третья вершина треугольника, точка A, должна лежать на луче BD. Однако, условия задачи не задают ни длину стороны AB, ни длину стороны AC, ни величину угла C. Это означает, что в качестве вершины A можно выбрать любую точку на луче BD (кроме точки B). В зависимости от выбора точки A мы будем получать разные треугольники (разные по площади, по длине сторон AB и AC, по углам A и C).

Таким образом, данных условий недостаточно для построения единственного треугольника. Существует бесконечное множество треугольников, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: задача имеет бесконечное множество решений.

2) по стороне a и двум прилежащим к ней углам B и C

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) выполняется следующим образом:

1. Начертить прямую и отложить на ней отрезок BC, равный по длине данной стороне $a$.
2. От точки B на луче BC построить в одной полуплоскости угол, равный данному углу B. Провести луч BD.
3. От точки C на луче CB построить в той же полуплоскости угол, равный данному углу C. Провести луч CE.
4. Лучи BD и CE пересекутся в некоторой точке A, которая и будет третьей вершиной искомого треугольника.

Такой треугольник можно построить не всегда. Для того чтобы лучи BD и CE пересеклись, необходимо, чтобы сумма углов B и C была меньше 180 градусов. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как угол A должен быть положительным ($\angle A > 0^\circ$), то должно выполняться условие $\angle B + \angle C < 180^\circ$.

Если условие $\angle B + \angle C < 180^\circ$ выполнено, то задача имеет единственное решение, так как лучи BD и CE пересекутся в одной единственной точке. Если $\angle B + \angle C \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся (в случае равенства они будут параллельны, в случае "больше" - расходящимися), и треугольник построить невозможно (решений нет).

Судя по рисунку в условии, углы B и C острые, поэтому их сумма меньше 180°, и, следовательно, решение существует и оно единственное.

Ответ: если сумма данных углов B и C меньше 180°, то задача имеет одно решение; если их сумма больше или равна 180°, то решений нет.

Условие 2010-2022.

403 Построй треугольник ABC: 1) по стороне $a$ и прилежащему к ней углу $B$; 2) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач?

1) $a$

$B$

2) $a$

$B$

$C$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).