Номер 405, страница 94, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 405, страница 94.

Условие 2023.

405 Начерти произвольный треугольник $ABC$, построй середины его сторон – точки $M, N$ и $K$ – и соедини их отрезками. Измерь и сравни углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 2 (2023).

Выполним пошагово все инструкции из задания.

1. Сначала начертим произвольный треугольник, обозначив его вершины буквами $A$, $B$ и $C$.

2. Далее, построим середины его сторон. Пусть точка $M$ – середина стороны $AB$, точка $N$ – середина стороны $BC$, и точка $K$ – середина стороны $AC$.

3. Соединим точки $M$, $N$ и $K$ отрезками. В результате мы получим новый треугольник $MNK$. Он называется срединным треугольником для $\triangle ABC$.

4. Теперь измерим и сравним углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Вместо прямого измерения транспортиром, которое может дать погрешность, проведем строгое доказательство, используя свойства средней линии треугольника.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, в $\triangle ABC$:

• отрезок $MN$ – средняя линия, поэтому $MN \parallel AC$;
• отрезок $NK$ – средняя линия, поэтому $NK \parallel AB$;
• отрезок $MK$ – средняя линия, поэтому $MK \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNK$. Его сторона $AM$ лежит на прямой $AB$, а сторона $NK$ параллельна $AB$, следовательно, $AM \parallel NK$. Его сторона $AK$ лежит на прямой $AC$, а сторона $MN$ параллельна $AC$, следовательно, $AK \parallel MN$. Так как у четырехугольника $AMNK$ противолежащие стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит $\angle A = \angle MNK$.

Аналогично, четырехугольник $MBNK$ является параллелограммом (поскольку $MB \parallel NK$ и $MK \parallel BN$). Отсюда следует, что $\angle B = \angle MKN$.

И четырехугольник $MNKC$ также является параллелограммом (поскольку $MN \parallel KC$ и $MK \parallel NC$). Отсюда следует, что $\angle C = \angle NMK$.

Что ты замечаешь?

При сравнении углов треугольников $ABC$ и $MNK$ я замечаю, что они соответственно равны: $\angle A$ исходного треугольника равен углу $\angle MNK$ срединного, $\angle B$ равен углу $\angle MKN$, а $\angle C$ равен углу $\angle NMK$. Так как все углы одного треугольника соответственно равны всем углам другого, эти треугольники подобны.

Ответ: Углы треугольника $MNK$ равны соответствующим углам треугольника $ABC$, и, следовательно, треугольник $MNK$ подобен треугольнику $ABC$.

Сформулируй гипотезу.

На основе сделанного наблюдения и доказательства можно сформулировать общую гипотезу, которая будет верна для любого треугольника.

Ответ: Треугольник, вершины которого являются серединами сторон другого треугольника (срединный треугольник), всегда подобен исходному треугольнику.

Условие 2010-2022.

405 Начерти произвольный треугольник $ABC$, построй середины его сторон – точки $M$, $N$ и $K$ – и соедини их отрезками. Измерь и сравни углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).