Номер 378, страница 89, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 378, страница 89.

Условие 2023.

378 Построй треугольник ABC по трём сторонам $a$, $b$ и $c$ и определи вид этого треугольника.

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами? Всегда ли эта задача имеет решение?

Решение 2 (2023).

1)

Для построения треугольника $ABC$ по трём заданным сторонам $a, b$ и $c$, воспользуемся циркулем и линейкой.

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $B$. С помощью циркуля отложим от точки $B$ отрезок, равный стороне $c$, и получим точку $C$. Сторона $BC = c$ является основанием нашего будущего треугольника.
2. Из точки $B$ как из центра проведём дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
3. Из точки $C$ как из центра проведём дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
4. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника. Обозначим её $A$.
5. Соединим точку $A$ отрезками с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Чтобы определить вид этого треугольника, необходимо проверить неравенство треугольника и соотнести квадраты его сторон. Из рисунка видно, что сумма длин двух любых сторон больше третьей (например, $a + b > c$), поэтому треугольник существует.

Далее сравним квадрат наибольшей стороны ($c$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$). Визуальная оценка и измерение отрезков на рисунке показывают, что выполняется неравенство $c^2 < a^2 + b^2$. Это означает, что угол, лежащий напротив самой длинной стороны $c$ (угол $A$), является острым. Так как это наибольший угол в треугольнике, то и остальные два угла также острые. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: Построенный треугольник является остроугольным.

2)

Попытаемся построить треугольник с данными сторонами по тому же алгоритму. Отложим на прямой отрезок, равный стороне $c$, и из его концов проведём дуги окружностей радиусами $a$ и $b$.

В этом случае мы обнаружим, что дуги не пересекаются. Это происходит потому, что не выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух меньших сторон $a$ и $b$ меньше длины третьей стороны $c$. Математически это записывается как $a + b < c$. Так как третья вершина не может быть найдена, построить треугольник с такими сторонами невозможно.

Ответ: Построить треугольник с данными сторонами невозможно, так как не выполняется неравенство треугольника (сумма двух меньших сторон меньше третьей стороны).

---

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами?

Если длины трех сторон удовлетворяют неравенству треугольника, то можно построить только один уникальный треугольник. Любой другой треугольник, построенный по тем же трем сторонам, будет равен (конгруэнтен) первому согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS). Различные построения могут дать треугольник в другой ориентации, но по форме и размерам он будет таким же.

Ответ: Можно построить только один такой треугольник (с точностью до равенства).

Всегда ли эта задача имеет решение?

Нет, эта задача имеет решение не всегда. Для того чтобы из трёх отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Если это условие не соблюдается (как в пункте 2), то треугольник построить нельзя.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, если выполняется неравенство треугольника.

Условие 2010-2022.

378 Построй треугольник $ABC$ по трем сторонам $a$, $b$ и $c$ и определи вид этого треугольника:

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами? Всегда ли эта задача имеет решение?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).