Номер 285, страница 64, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Следование и равносильность. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 285, страница 64.

Условие 2023.

285. Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными:

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$;

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$;

в) $|x| = 7$ и $x = 7$;

г) $|x| < 9$ и $x < 2$.

Решение 2 (2023).

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$

Два утверждения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
1) Уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5; 5\}$.
2) Уравнение $x = 5$ имеет один корень: $x = 5$. Множество решений: $\{5\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, утверждения не являются равносильными.
Контрпримером является $x = -5$. Для этого значения первое утверждение $x^2 = 25$ истинно, так как $(-5)^2 = 25$, а второе утверждение $x=5$ ложно, так как $-5 \neq 5$.
Ответ: контрпример $x = -5$.

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$

1) Решениями уравнения $x^2 = 16$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество решений: $\{-4; 4\}$.
2) Решением уравнения $x = -4$ является только $x = -4$. Множество решений: $\{-4\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, утверждения не равносильны.
Контрпримером является $x = 4$. При $x = 4$ первое утверждение $x^2 = 16$ истинно, так как $4^2 = 16$, а второе утверждение $x = -4$ ложно, так как $4 \neq -4$.
Ответ: контрпример $x = 4$.

в) $|x| = 7$ и $x = 7$

1) Уравнение $|x| = 7$ имеет два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Множество решений: $\{-7; 7\}$.
2) Уравнение $x = 7$ имеет один корень: $x = 7$. Множество решений: $\{7\}$.
Множества решений различны, следовательно, утверждения не являются равносильными.
Контрпримером является $x = -7$. Для этого значения первое утверждение $|x| = 7$ верно, так как $|-7| = 7$, а второе утверждение $x = 7$ неверно, так как $-7 \neq 7$.
Ответ: контрпример $x = -7$.

г) $|x| < 9$ и $x < 2$

1) Решением неравенства $|x| < 9$ является интервал $(-9; 9)$.
2) Решением неравенства $x < 2$ является интервал $(-\infty; 2)$.
Поскольку множества решений не совпадают, утверждения не равносильны.
В качестве контрпримера можно взять число, которое принадлежит одному множеству решений, но не принадлежит другому. Например, $x = 5$. Это значение удовлетворяет первому неравенству, так как $|5| < 9$ (что верно), но не удовлетворяет второму, так как утверждение $5 < 2$ является ложным.
Ответ: контрпример $x = 5$.

Условие 2010-2022.

285 Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными:

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$;

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$;

в) $|x|=7$ и $x=7$;

г) $|x|<9$ и $x<2$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).