Номер 282, страница 62, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Обратное утверждение. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 282, страница 62.

Условие 2023.

282 В классе учатся 24 мальчика и 32 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны все эти сведения, если система счисления одна и та же?

Решение 2 (2023).

Пусть $x$ — это основание искомой системы счисления. По условию задачи, количество мальчиков ($24_x$), сложенное с количеством девочек ($32_x$), равно общему количеству человек в классе ($100_x$). Запишем это в виде уравнения: $24_x + 32_x = 100_x$

Для того чтобы решить это уравнение, необходимо перевести все числа в десятичную систему счисления. Формула перевода числа $ab_x$ в десятичную систему: $a \cdot x^1 + b \cdot x^0$. Для числа $abc_x$: $a \cdot x^2 + b \cdot x^1 + c \cdot x^0$. Применим это к нашему уравнению: $(2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0) + (3 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0) = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 0 \cdot x^0$

Упростим полученное выражение: $(2x + 4) + (3x + 2) = x^2$ $5x + 6 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$ и решим его: $x^2 - 5x - 6 = 0$ По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-6$. Корнями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Основание системы счисления ($x$) должно быть натуральным числом и, кроме того, должно быть больше самой большой цифры, используемой в записи чисел. В данном случае самая большая цифра — это 4 (в числе 24). Следовательно, $x > 4$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет этим условиям. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет, так как $6 > 4$. Таким образом, данные сведения записаны в шестеричной системе счисления.

Ответ: шестеричная система счисления.

Условие 2010-2022.

282 В классе учатся 24 мальчика и 32 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны все эти сведения, если система счисления одна и та же?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).