Номер 277, страница 61, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Обратное утверждение. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 277, страница 61.

Условие 2023.

277 Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 24 и 80;

б) 25, 90 и 105;

в) 108 и 972;

г) 176 и 875.

Решение 2 (2023).

а) 24 и 80

Разложим данные числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$

Наибольший общий делитель (НОД) находится как произведение общих простых множителей с наименьшим показателем степени.
НОД(24, 80) = $2^3 = 8$.

Наименьшее общее кратное (НОК) находится как произведение всех простых множителей из разложений с наибольшим показателем степени.
НОК(24, 80) = $2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.

Ответ: разложение: $24 = 2^3 \cdot 3$, $80 = 2^4 \cdot 5$; НОД = 8; НОК = 240.

б) 25, 90 и 105

Разложим числа на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$
$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

НОД — это произведение общих для всех чисел простых множителей с наименьшей степенью. Общий множитель — 5.
НОД(25, 90, 105) = $5^1 = 5$.

НОК — это произведение всех простых множителей из всех разложений с наибольшей степенью.
НОК(25, 90, 105) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 3150$.

Ответ: разложение: $25 = 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$; НОД = 5; НОК = 3150.

в) 108 и 972

Разложим числа на простые множители:
$108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$
$972 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^5$

Находим НОД, перемножая общие множители в наименьшей степени:
НОД(108, 972) = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.

Находим НОК, перемножая все множители в наибольшей степени:
НОК(108, 972) = $2^2 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
(Заметим, что 972 делится на 108, поэтому их НОД равен меньшему числу, а НОК — большему).

Ответ: разложение: $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $972 = 2^2 \cdot 3^5$; НОД = 108; НОК = 972.

г) 176 и 875

Разложим числа на простые множители:
$176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^4 \cdot 11$
$875 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^3 \cdot 7$

У данных чисел нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. Их НОД равен 1.
НОД(176, 875) = 1.

НОК взаимно простых чисел равно их произведению:
НОК(176, 875) = $176 \cdot 875 = 154000$.

Ответ: разложение: $176 = 2^4 \cdot 11$, $875 = 5^3 \cdot 7$; НОД = 1; НОК = 154000.

Условие 2010-2022.

$277$ Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) $24$ и $80$;

б) $25$, $90$ и $105$;

в) $108$ и $972$;

г) $176$ и $875$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).