Номер 270, страница 61, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 3. Обратное утверждение - номер 270, страница 61.

Условие 2023.

270 Значение выражения $\frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18}$ принадлежит множеству $A = \left\{ \frac{29}{20}, \frac{39}{20}, \frac{39}{25}, \frac{59}{20}, \frac{99}{35} \right\}$. Найди значение этого выражения, не вычисляя сумму.

Решение 2 (2023).

Чтобы найти значение выражения, не вычисляя сумму всех пяти дробей напрямую, можно упростить задачу, сгруппировав некоторые слагаемые.

Дано выражение: $ S = \frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18} $.

Переставим слагаемые и сгруппируем те, у которых одинаковый числитель 11:

$ S = \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + (\frac{11}{9} + \frac{11}{18}) $

Вычислим сумму в скобках. Для этого вынесем общий множитель 11:

$ \frac{11}{9} + \frac{11}{18} = 11 \cdot (\frac{1}{9} + \frac{1}{18}) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 18:

$ 11 \cdot (\frac{2}{18} + \frac{1}{18}) = 11 \cdot \frac{3}{18} = 11 \cdot \frac{1}{6} = \frac{11}{6} $

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $S$:

$ S = \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{6} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем 6:

$ (\frac{1}{6} + \frac{11}{6}) + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{1+11}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{12}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = 2 + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} $

Теперь задача свелась к вычислению суммы $ 2 + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} $. Сложим оставшиеся дроби. Их наименьший общий знаменатель — это НОК(12, 15) = 60.

$ \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} + \frac{32}{60} = \frac{25+32}{60} = \frac{57}{60} $

Теперь найдем окончательное значение $S$:

$ S = 2 + \frac{57}{60} = \frac{2 \cdot 60}{60} + \frac{57}{60} = \frac{120 + 57}{60} = \frac{177}{60} $

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $1+7+7=15$, значит, он делится на 3. Знаменатель 60 также делится на 3.

$ S = \frac{177 \div 3}{60 \div 3} = \frac{59}{20} $

Полученное значение $ \frac{59}{20} $ содержится в данном множестве A.

Ответ: $ \frac{59}{20} $

Условие 2010-2022.

270 Значение выражения $ \frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18} $ принадлежит множеству $ A = \left\{\frac{29}{20}, \frac{39}{20}, \frac{39}{25}, \frac{59}{20}, \frac{99}{35}\right\} $. Найди значение этого выражения, не вычисляя сумму.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).