Номер 263, страница 59, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Обратное утверждение. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 263, страница 59.

Условие 2023.

263 Найди взаимно обратные высказывания. С помощью каких союзов можно объединить их в одно предложение?

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|$;

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b$;

В) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2$;

Г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3$.

Решение 2 (2023).

Взаимно обратными называются два утверждения, в которых условие (посылка) и заключение (следствие) меняются местами. Если одно утверждение имеет вид «если А, то В» ($A \Rightarrow B$), то обратное ему имеет вид «если В, то А» ($B \Rightarrow A$).

а) и в)

Рассмотрим пару высказываний:

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|$

в) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2$

В высказывании (а) условием является $a^2 = b^2$, а заключением — $|a| = |b|$. В высказывании (в) наоборот: условием является $|a| = |b|$, а заключением — $a^2 = b^2$.

Поскольку условие и заключение в этих высказываниях поменялись местами, они являются взаимно обратными.

Ответ: Высказывания а) и в) являются взаимно обратными.

б) и г)

Рассмотрим пару высказываний:

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b$

г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3$

В высказывании (б) условием является $a^3 = b^3$, а заключением — $a = b$. В высказывании (г) условие и заключение меняются местами: условием является $a = b$, а заключением — $a^3 = b^3$.

Следовательно, эти высказывания также являются взаимно обратными.

Ответ: Высказывания б) и г) являются взаимно обратными.

Объединение в одно предложение

Два взаимно обратных высказывания, если оба они истинны, можно объединить в одно предложение, выражающее их равносильность (эквивалентность). Для этого используются специальные союзы и речевые обороты, такие как:

• «тогда и только тогда, когда»
• «если и только если»
• «в том и только в том случае, если»

В математике для этого используется знак равносильности $ \Leftrightarrow $. Объединим найденные пары:

• Для пары а) и в): «Равенство $a^2=b^2$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $|a|=|b|$». В виде формулы: $a^2=b^2 \Leftrightarrow |a|=|b|$.
• Для пары б) и г): «Равенство $a^3=b^3$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $a=b$». В виде формулы: $a^3=b^3 \Leftrightarrow a=b$.

Ответ: Взаимно обратные высказывания можно объединить в одно предложение с помощью союзов «тогда и только тогда, когда» или «если и только если».

Условие 2010-2022.

263. Найди взаимно обратные высказывания. С помощью каких союзов можно объединить их в одно предложение?

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|;$

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b;$

в) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2;$

г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).