Номер 260, страница 59, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 3. Обратное утверждение - номер 260, страница 59.

Условие 2023.

260 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания.

a) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6. ($x \le 5 \implies x < 6$)

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10. ($40|x \implies (4|x \land 10|x)$)

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел. ($a=b \implies a^2=b^2$)

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел. ($a=b \implies |a|=|b|$)

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. ($l_1 \parallel l_2 \implies \exists \Pi : l_1 \subset \Pi \land l_2 \subset \Pi$)

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку. ($l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \ne \emptyset$)

Решение 2 (2023).

а) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6.

Исходное высказывание имеет вид импликации $A \implies B$, где $A$ — «число $x \le 5$», а $B$ — «число $x < 6$».
Запись на математическом языке: $\forall x \in \mathbb{R} : (x \le 5 \implies x < 6)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если число меньше 6, то оно меньше или равно 5». Это высказывание ложно. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести один контрпример. Возьмем число $x = 5,5$. Условие «число меньше 6» для него выполняется ($5,5 < 6$), но заключение «оно меньше или равно 5» — нет ($5,5 > 5$).
Отрицание исходного высказывания ($\neg(A \implies B) \iff A \land \neg B$): «Существует число, которое меньше или равно 5 и при этом не меньше 6 (то есть больше или равно 6)».

Ответ: Запись: $\forall x : (x \le 5 \implies x < 6)$. Обратное высказывание «Если число меньше 6, то оно меньше или равно 5» ложно (контрпример: $x=5,5$). Отрицание: «Существует число $x$ такое, что $x \le 5$ и $x \ge 6$».

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «число $n$ кратно 40», а $B$ — «число $n$ кратно 4 и 10».
Запись на математическом языке: $\forall n \in \mathbb{Z} : (n \vdots 40 \implies (n \vdots 4 \land n \vdots 10))$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если число кратно 4 и 10, то оно кратно 40». Это высказывание ложно. Контрпример: число $n = 20$. Оно кратно 4 ($20 = 4 \cdot 5$) и кратно 10 ($20 = 10 \cdot 2$), но не кратно 40.
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существует число, которое кратно 40, но при этом оно не кратно 4 или не кратно 10».

Ответ: Запись: $\forall n \in \mathbb{Z} : (n \vdots 40 \implies (n \vdots 4 \land n \vdots 10))$. Обратное высказывание «Если число кратно 4 и 10, то оно кратно 40» ложно (контрпример: $n=20$). Отрицание: «Существует число $n$ такое, что $n \vdots 40$ и ($n$ не кратно 4 или $n$ не кратно 10)».

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «числа $a$ и $b$ равны ($a=b$)», а $B$ — «квадраты чисел $a$ и $b$ равны ($a^2=b^2$)».
Запись на математическом языке: $\forall a,b \in \mathbb{R} : (a = b \implies a^2 = b^2)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если квадраты чисел равны, то равны и сами числа». Это высказывание ложно. Контрпример: $a = 2$, $b = -2$. Их квадраты равны ($2^2 = (-2)^2 = 4$), но сами числа не равны ($2 \neq -2$).
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существуют два равных числа, квадраты которых не равны».

Ответ: Запись: $\forall a,b: (a = b \implies a^2 = b^2)$. Обратное высказывание «Если $a^2 = b^2$, то $a=b$» ложно (контрпример: $a=2, b=-2$). Отрицание: «Существуют числа $a$ и $b$ такие, что $a = b$ и $a^2 \neq b^2$».

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «числа $a$ и $b$ равны ($a=b$)», а $B$ — «модули чисел $a$ и $b$ равны ($|a|=|b|$)».
Запись на математическом языке: $\forall a,b \in \mathbb{R} : (a = b \implies |a| = |b|)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если модули чисел равны, то равны и сами числа». Это высказывание ложно. Контрпример: $a = 2$, $b = -2$. Их модули равны ($|2| = |-2| = 2$), но сами числа не равны ($2 \neq -2$).
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существуют два равных числа, модули которых не равны».

Ответ: Запись: $\forall a,b: (a = b \implies |a| = |b|)$. Обратное высказывание «Если $|a| = |b|$, то $a=b$» ложно (контрпример: $a=2, b=-2$). Отрицание: «Существуют числа $a$ и $b$ такие, что $a = b$ и $|a| \neq |b|$».

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Исходное высказывание является определением параллельных прямых в пространстве.
Запись на математическом языке: Пусть $l_1, l_2$ — прямые. Тогда $l_1 \parallel l_2 \implies (\exists \alpha : l_1 \subset \alpha \land l_2 \subset \alpha)$.
Обратное высказывание: «Если две прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны». Это высказывание ложно. Две прямые в одной плоскости могут пересекаться. Например, оси координат $Ox$ и $Oy$ лежат в одной плоскости $Oxy$, но они пересекаются, а не параллельны.
Отрицание исходного высказывания: «Существуют две параллельные прямые, которые не лежат в одной плоскости».

Ответ: Запись: $l_1 \parallel l_2 \implies l_1$ и $l_2$ копланарны. Обратное высказывание «Если две прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны» ложно (контрпример: две пересекающиеся прямые). Отрицание: «Существуют две параллельные прямые, которые не лежат в одной плоскости».

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку.

Исходное высказывание следует из определения перпендикулярных прямых (это прямые, которые пересекаются под прямым углом).
Запись на математическом языке: Пусть $l_1, l_2$ — прямые. Тогда $l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \neq \emptyset$.
Обратное высказывание: «Если две прямые имеют общую точку, то они перпендикулярны». Это высказывание ложно. Две прямые могут пересекаться под любым углом, не обязательно прямым ($90^\circ$). Например, две прямые, пересекающиеся под углом $45^\circ$, имеют общую точку, но не перпендикулярны.
Отрицание исходного высказывания: «Существуют две перпендикулярные прямые, которые не имеют общей точки».

Ответ: Запись: $l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \neq \emptyset$. Обратное высказывание «Если две прямые имеют общую точку, то они перпендикулярны» ложно (контрпример: две прямые, пересекающиеся под углом $45^\circ$). Отрицание: «Существуют две перпендикулярные прямые, которые не имеют общей точки».

Условие 2010-2022.

260 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания.

а) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6. ($x \le 5 \implies x < 6$)

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10. ($x \equiv 0 \pmod{40} \implies (x \equiv 0 \pmod{4} \land x \equiv 0 \pmod{10})$)

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел. ($a = b \implies a^2 = b^2$)

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел. ($a = b \implies |a| = |b|$)

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).