Номер 261, страница 59, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Обратное утверждение. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 261, страница 59.

Условие 2023.

261 Для данных общих высказываний построй обратные высказывания. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний.

а) Любое натуральное число больше или равно $1$.

б) Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0.

в) Треугольник является многоугольником.

г) Квадрат является прямоугольником.

д) Сумма противоположных чисел равна $0$.

е) Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

Решение 2 (2023).

а) Исходное высказывание: "Любое натуральное число больше или равно 1".

Обратное высказывание: "Если число больше или равно 1, то оно является натуральным".

Это обратное высказывание является ложным. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример. Например, число 1,5 больше 1 ($1,5 > 1$), но оно не является натуральным числом.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует число, которое больше или равно 1, но не является натуральным".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Примером такого числа может служить любое дробное или иррациональное число, большее или равное 1, например, 2,7. Это число удовлетворяет условию $2,7 \ge 1$, но не принадлежит множеству натуральных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если число больше или равно 1, то оно является натуральным" — ложно. Его отрицание "Существует число, которое больше или равно 1, но не является натуральным" — истинно.

б) Исходное высказывание: "Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0".

Обратное высказывание: "Если число оканчивается на 0, то оно кратно 10".

Это обратное высказывание является истинным. По признаку делимости на 10, число делится на 10 без остатка тогда и только тогда, когда его последняя цифра — ноль.

Ответ: Обратное высказывание "Если число оканчивается на 0, то оно кратно 10" — истинно.

в) Исходное высказывание: "Треугольник является многоугольником".

Обратное высказывание: "Если фигура является многоугольником, то она является треугольником".

Это обратное высказывание является ложным. Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Треугольник — это частный случай многоугольника с тремя сторонами.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует многоугольник, который не является треугольником".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Например, квадрат является многоугольником, так как у него 4 стороны, но он не является треугольником.

Ответ: Обратное высказывание "Если фигура является многоугольником, то она является треугольником" — ложно. Его отрицание "Существует многоугольник, который не является треугольником" — истинно.

г) Исходное высказывание: "Квадрат является прямоугольником".

Обратное высказывание: "Если фигура является прямоугольником, то она является квадратом".

Это обратное высказывание является ложным. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует прямоугольник, который не является квадратом".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см является прямоугольником, но так как его смежные стороны не равны, он не является квадратом.

Ответ: Обратное высказывание "Если фигура является прямоугольником, то она является квадратом" — ложно. Его отрицание "Существует прямоугольник, который не является квадратом" — истинно.

д) Исходное высказывание: "Сумма противоположных чисел равна 0".

Обратное высказывание: "Если сумма двух чисел равна 0, то эти числа являются противоположными".

Это обратное высказывание является истинным. Если сумма чисел $a$ и $b$ равна нулю, то есть $a + b = 0$, то отсюда следует, что $a = -b$. Это и есть определение противоположных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если сумма двух чисел равна 0, то эти числа являются противоположными" — истинно.

е) Исходное высказывание: "Произведение взаимно обратных чисел равно 1".

Обратное высказывание: "Если произведение двух чисел равно 1, то эти числа являются взаимно обратными".

Это обратное высказывание является истинным (для чисел, отличных от нуля). Если произведение чисел $a$ и $b$ равно 1, то есть $a \cdot b = 1$, то отсюда следует, что $b = 1/a$. Это является определением взаимно обратных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если произведение двух чисел равно 1, то эти числа являются взаимно обратными" — истинно.

Условие 2010-2022.

261 Для данных общих высказываний построй обратные высказывания. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний.

а) Любое натуральное число больше или равно 1.

б) Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0.

в) Треугольник является многоугольником.

г) Квадрат является прямоугольником.

д) Сумма противоположных чисел равна $0$.

е) Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).