Номер 269, страница 60, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Обратное утверждение. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 269, страница 60.

Условие 2023.

269 1) Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 18 и 21;

б) 28 и 245;

в) 16 и 160;

г) 27 и 100.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:

«Если число $a$ является делителем числа $b$, то $\text{НОД}(a, b) = \dots$, $\text{НОК}(a, b) = \dots$»;

«Если число $a$ кратно числу $b$, то $\text{НОД}(a, b) = \dots$, $\text{НОК}(a, b) = \dots$».

Решение 2 (2023).

а) 18 и 21
Сначала разложим числа 18 и 21 на простые множители.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
$21 = 3 \cdot 7$
Наибольший общий делитель (НОД) — это произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общий множитель — 3. Таким образом:
НОД(18, 21) = 3.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.
НОК(18, 21) = $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.
Ответ: разложение на множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $21 = 3 \cdot 7$; НОД(18, 21) = 3; НОК(18, 21) = 126.

б) 28 и 245
Разложим числа 28 и 245 на простые множители.
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2$
Для нахождения НОД берем общие простые множители с наименьшим показателем. Общий множитель — 7.
НОД(28, 245) = 7.
Для нахождения НОК берем все простые множители из обоих разложений с наибольшим показателем.
НОК(28, 245) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 4 \cdot 5 \cdot 49 = 20 \cdot 49 = 980$.
Ответ: разложение на множители: $28 = 2^2 \cdot 7$, $245 = 5 \cdot 7^2$; НОД(28, 245) = 7; НОК(28, 245) = 980.

в) 16 и 160
Разложим числа 16 и 160 на простые множители.
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$
Находим НОД. Общий множитель — 2, наименьший показатель — 4.
НОД(16, 160) = $2^4 = 16$.
Находим НОК. Множители — 2 и 5, наибольшие показатели — 5 и 1 соответственно.
НОК(16, 160) = $2^5 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160$.
Ответ: разложение на множители: $16 = 2^4$, $160 = 2^5 \cdot 5$; НОД(16, 160) = 16; НОК(16, 160) = 160.

г) 27 и 100
Разложим числа 27 и 100 на простые множители.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$
У чисел 27 и 100 нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. НОД взаимно простых чисел равен 1.
НОД(27, 100) = 1.
НОК взаимно простых чисел равен их произведению.
НОК(27, 100) = $27 \cdot 100 = 2700$.
Ответ: разложение на множители: $27 = 3^3$, $100 = 2^2 \cdot 5^2$; НОД(27, 100) = 1; НОК(27, 100) = 2700.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:
Примеры (в) и (г) иллюстрируют два особых случая при нахождении НОД и НОК.
В примере (в) одно число (16) является делителем другого (160). В такой ситуации НОД равен меньшему числу (делителю), а НОК — большему числу (кратному).
В примере (г) числа (27 и 100) являются взаимно простыми. В этом случае их НОД всегда равен 1, а НОК равен произведению этих чисел.

Основываясь на этих правилах, закончим предложения:
«Если число a является делителем числа b, то НОД(a, b) = a, НОК(a, b) = b»;
«Если число a кратно числу b, то НОД(a, b) = b, НОК(a, b) = a».
Ответ: В примере (в) одно число является делителем другого, а в примере (г) числа взаимно простые. «Если число a является делителем числа b, то НОД(a, b) = a, НОК(a, b) = b»; «Если число a кратно числу b, то НОД(a, b) = b, НОК(a, b) = a».

Условие 2010-2022.

269 1) Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 18 и 21; б) 28 и 245; в) 16 и 160; г) 27 и 100.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:

Если число $a$ является делителем числа $b$, то $\text{НОД}(a,b)=...$, $\text{НОК}(a,b)=...$

Если число $a$ кратно числу $b$, то $\text{НОД}(a,b)=...$, $\text{НОК}(a,b)=...$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).