Номер 276, страница 61, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 3. Обратное утверждение - номер 276, страница 61.

Условие 2023.

276 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания:

a) если число кратно 10, то оно кратно 2;

Математическое выражение: $10|N \implies 2|N$

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3;

Математическое выражение: $x > 4 \implies x \ge 3$

в) равные фигуры имеют равные площади;

Математическое выражение: $F_1 = F_2 \implies S(F_1) = S(F_2)$

г) сумма двух неправильных дробей – неправильная дробь.

Математическое выражение: $(\frac{a}{b} \ge 1 \land \frac{c}{d} \ge 1) \implies (\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ge 1)$

Решение 2 (2023).

а) если число кратно 10, то оно кратно 2;

1. Запись на математическом языке.

Пусть $A(x)$ — высказывание «число $x$ кратно 10», а $B(x)$ — высказывание «число $x$ кратно 2». Тогда исходное высказывание для любого целого числа $x$ можно записать в виде импликации: $A(x) \Rightarrow B(x)$. Используя знаки делимости, это выглядит так: $(\forall x \in \mathbb{Z})(x \vdots 10 \Rightarrow x \vdots 2)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если число кратно 2, то оно кратно 10», то есть $B(x) \Rightarrow A(x)$.

Это высказывание ложно. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример. Возьмем число 4. Условие «число кратно 2» для него истинно ($4 \vdots 2$), а заключение «оно кратно 10» — ложно ($4 \not\vdots 10$). Следовательно, обратное высказывание неверно.

3. Построение отрицания.

Отрицанием импликации $A \Rightarrow B$ является конъюнкция $A \land \neg B$. На естественном языке это звучит так: «Существует число, которое кратно 10 и при этом не кратно 2».

Ответ: Математическая запись: $(\forall x \in \mathbb{Z})(x \vdots 10 \Rightarrow x \vdots 2)$. Обратное высказывание: «если число кратно 2, то оно кратно 10» — ложно (контрпример: 4). Отрицание: «Существует число, которое кратно 10, но не кратно 2».

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3;

1. Запись на математическом языке.

Пусть $x$ — произвольное число. Исходное высказывание можно записать в виде неравенства-импликации: $(\forall x \in \mathbb{R})(x > 4 \Rightarrow x \ge 3)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если число больше или равно 3, то оно больше 4», то есть $x \ge 3 \Rightarrow x > 4$.

Это высказывание ложно. Контрпример: число 3.5. Неравенство $3.5 \ge 3$ верно, но неравенство $3.5 > 4$ ложно. Таким образом, обратное высказывание неверно.

3. Построение отрицания.

Отрицанием высказывания $x > 4 \Rightarrow x \ge 3$ является $x > 4 \land \neg(x \ge 3)$, что равносильно $x > 4 \land x < 3$. На естественном языке: «Существует число, которое больше 4 и одновременно меньше 3».

Ответ: Математическая запись: $(\forall x \in \mathbb{R})(x > 4 \Rightarrow x \ge 3)$. Обратное высказывание: «если число больше или равно 3, то оно больше 4» — ложно (контрпример: 3.5). Отрицание: «Существует число, которое больше 4 и меньше 3».

в) равные фигуры имеют равные площади;

1. Запись на математическом языке.

В геометрии «равные фигуры» означает «конгруэнтные фигуры». Высказывание можно переформулировать: «если две фигуры конгруэнтны, то их площади равны». Пусть $F_1$ и $F_2$ — две фигуры, а $S(F)$ — площадь фигуры $F$. Тогда: $(\forall F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \Rightarrow S(F_1) = S(F_2))$, где знак $\cong$ означает конгруэнтность.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если площади двух фигур равны, то эти фигуры конгруэнтны», то есть $S(F_1) = S(F_2) \Rightarrow F_1 \cong F_2$.

Это высказывание ложно. Контрпример: квадрат со стороной 2 см и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см. Их площади равны: $S_{квадрата} = 2^2 = 4$ см², $S_{прямоугольника} = 1 \cdot 4 = 4$ см². Однако эти фигуры не являются конгруэнтными. Следовательно, обратное высказывание ложно.

3. Построение отрицания.

Отрицание: «Существуют две конгруэнтные фигуры, площади которых не равны». Математически: $(\exists F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \land S(F_1) \ne S(F_2))$.

Ответ: Математическая запись: $(\forall F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \Rightarrow S(F_1) = S(F_2))$. Обратное высказывание: «если площади двух фигур равны, то фигуры конгруэнтны» — ложно (контрпример: квадрат $2 \times 2$ и прямоугольник $1 \times 4$). Отрицание: «Существуют конгруэнтные фигуры с неравными площадями».

г) сумма двух неправильных дробей – неправильная дробь.

1. Запись на математическом языке.

Неправильная положительная дробь — это дробь, которая больше или равна 1. Переформулируем высказывание: «если две (положительные) дроби $x$ и $y$ неправильные, то их сумма $x+y$ — тоже неправильная дробь». Для любых положительных рациональных чисел $x$ и $y$: $(x \ge 1 \land y \ge 1) \Rightarrow (x+y \ge 1)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если сумма двух (положительных) дробей является неправильной дробью, то каждая из этих дробей является неправильной». Математически: $(x+y \ge 1) \Rightarrow (x \ge 1 \land y \ge 1)$.

Это высказывание ложно. Контрпример: возьмем две правильные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{3}{4}$. Их сумма равна $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Сумма $\frac{3}{2}$ является неправильной дробью ($3>2$, т.е. $\frac{3}{2} > 1$), однако исходные дроби $\frac{3}{4}$ были правильными ($3<4$, т.е. $\frac{3}{4} < 1$).

3. Построение отрицания.

Отрицание исходного утверждения: «Существуют две неправильные дроби, сумма которых является правильной дробью». Математически: $(\exists x,y \in \mathbb{Q}_{\ge 1})((x \ge 1 \land y \ge 1) \land (x+y < 1))$.

Ответ: Математическая запись: $(\forall x,y \in \mathbb{Q}_{\ge 1})((x \ge 1 \land y \ge 1) \Rightarrow (x+y \ge 1))$. Обратное высказывание: «если сумма двух дробей — неправильная дробь, то и слагаемые — неправильные дроби» — ложно (контрпример: $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$). Отрицание: «Существуют две неправильные дроби, сумма которых является правильной дробью».

Условие 2010-2022.

276 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания:

а) если число кратно 10, то оно кратно 2; $10 \mid n \implies 2 \mid n$

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3; $x > 4 \implies x \ge 3$

в) равные фигуры имеют равные площади; $F_1 = F_2 \implies S(F_1) = S(F_2)$

г) сумма двух неправильных дробей -- неправильная дробь. $I(f_1) \land I(f_2) \implies I(f_1 + f_2)$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).