Номер 284, страница 63, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 4. Следование и равносильность - номер 284, страница 63.

Условие 2023.

284 Запиши высказывания на математическом языке и прочитай два следования, которые объединены в каждом предложении.

а) Число $x$ в 2 раза больше, чем число $y$, тогда и только тогда, когда $x = 2y$.

б) Для того чтобы число $a$ было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа $a$ была кратна 3.

в) Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число $c$, которое при сложении с $b$ даёт $a$.

г) Квадрат числа $x$ равен 9 в том и только в том случае, когда $x = 3$ или $x = -3$.

Решение 2 (2023).

а) Это утверждение является эквиваленцией, поскольку содержит оборот «тогда и только тогда, когда». Это означает, что из первой части утверждения следует вторая, и наоборот, из второй части следует первая.

Запишем это высказывание на математическом языке, используя знак эквивалентности $ \Leftrightarrow $. Пусть первая часть «Число x в 2 раза больше, чем число y» — это утверждение A, а вторая часть «$x = 2y$» — это утверждение B. Утверждение A само по себе означает $x = 2y$. Таким образом, математическая запись всего высказывания выглядит так: $(x = 2y) \Leftrightarrow (x = 2y)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если число x в 2 раза больше, чем число y, то верно равенство $x = 2y$.

2. Обратное следование: Если верно равенство $x = 2y$, то число x в 2 раза больше, чем число y.

Ответ: Математическая запись: $(x = 2y) \Leftrightarrow (x = 2y)$. Два следования: 1) Если число x в 2 раза больше, чем число y, то $x = 2y$. 2) Если $x = 2y$, то число x в 2 раза больше, чем число y.

б) Утверждение содержит оборот «необходимо и достаточно», что является синонимом «тогда и только тогда, когда» и обозначает эквивалентность двух условий.

Запишем высказывание на математическом языке. Обозначим условие «число a кратно 3» как $a \vdots 3$, а условие «сумма цифр числа a кратна 3» как $S(a) \vdots 3$. Тогда математическая запись утверждения будет: $(a \vdots 3) \Leftrightarrow (S(a) \vdots 3)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование (необходимость): Если число a кратно 3, то сумма его цифр кратна 3.

2. Обратное следование (достаточность): Если сумма цифр числа a кратна 3, то само число a кратно 3.

Ответ: Математическая запись: $(a \vdots 3) \Leftrightarrow (S(a) \vdots 3)$, где $S(a)$ — сумма цифр числа $a$. Два следования: 1) Если число a делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. 2) Если сумма цифр числа a делится на 3, то и само число a делится на 3.

в) Это предложение является определением операции вычитания. Оно устанавливает эквивалентность между операцией вычитания и операцией сложения.

Запишем это определение на математическом языке. «Вычесть из числа a число b» означает найти разность $a - b$. Обозначим результат этой операции, то есть разность, как $c$. Тогда первая часть утверждения записывается как $c = a - b$. Вторая часть «найти такое число c, которое при сложении с b даёт a» записывается как $c + b = a$. Знак «—» (тире) в данном контексте означает «это значит», то есть эквивалентность. Математическая запись: $(c = a - b) \Leftrightarrow (c + b = a)$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если число $c$ является разностью чисел $a$ и $b$, то сумма чисел $c$ и $b$ равна $a$.

2. Обратное следование: Если сумма чисел $c$ и $b$ равна $a$, то число $c$ является разностью чисел $a$ и $b$.

Ответ: Математическая запись: $(c = a - b) \Leftrightarrow (c + b = a)$. Два следования: 1) Если $c = a - b$, то $c + b = a$. 2) Если $c + b = a$, то $c = a - b$.

г) Утверждение использует оборот «в том и только в том случае, когда», что означает эквивалентность.

Запишем высказывание на математическом языке. Условие «Квадрат числа x равен 9» записывается как $x^2 = 9$. Условие «$x = 3$ или $x = -3$» записывается с использованием знака дизъюнкции (логического «ИЛИ») $ \lor $: $(x = 3) \lor (x = -3)$. Таким образом, всё утверждение можно записать так: $(x^2 = 9) \Leftrightarrow ((x = 3) \lor (x = -3))$.

Два следования, объединенные в этом предложении:

1. Прямое следование: Если квадрат числа x равен 9, то $x$ равен 3 или $x$ равен -3.

2. Обратное следование: Если $x$ равен 3 или $x$ равен -3, то квадрат числа $x$ равен 9.

Ответ: Математическая запись: $(x^2 = 9) \Leftrightarrow ((x = 3) \lor (x = -3))$. Два следования: 1) Если $x^2 = 9$, то $x = 3$ или $x = -3$. 2) Если $x = 3$ или $x = -3$, то $x^2 = 9$.

Условие 2010-2022.

284 Запиши высказывания на математическом языке и прочитай два следования, которые объединены в каждом предложении.

a) Число $x$ в 2 раза больше, чем число $y$, тогда и только тогда, когда $x = 2y$.

б) Для того чтобы число $a$ было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа $a$ была кратна 3.

в) Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число $c$, которое при сложении с $b$ дает $a$.

г) Квадрат числа $x$ равен 9 в том и только в том случае, когда $x = 3$ или $x = -3$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).