Номер 286, страница 64, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 4. Следование и равносильность - номер 286, страница 64.

Условие 2023.

286 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания

$(a, b, c, d \ne 0):$

а) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = ...;$

В) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b}{a} = ...;$

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{c} = ...;$

Г) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = ...$

Решение 2 (2023).

а)

Данное утверждение является основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Умножим обе части равенства на произведение знаменателей $bd$. Поскольку по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, это преобразование является равносильным.
$\frac{a}{b} \cdot bd = \frac{c}{d} \cdot bd$
$a \cdot d = c \cdot b$
Следовательно, пропущенное выражение — это $bc$.
Ответ: $bc$.

б)

Это одно из производных свойств пропорции, которое получается путем перестановки средних членов.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Из основного свойства пропорции мы знаем, что $ad = bc$.
Разделим обе части этого равенства на $cd$. Это возможно, так как по условию $c \neq 0$ и $d \neq 0$.
$\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$
После сокращения дробей получаем:
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{b}{d}$.
Ответ: $\frac{b}{d}$.

в)

Это свойство получается путем "переворачивания" обеих дробей в пропорции.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Поскольку по условию $a, c \neq 0$, обе части равенства не равны нулю. Если два ненулевых числа равны, то и обратные им числа также равны.
Возьмем обратные величины от левой и правой частей равенства:
$(\frac{a}{b})^{-1} = (\frac{c}{d})^{-1}$
$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{d}{c}$.
Ответ: $\frac{d}{c}$.

г)

Это еще одно производное свойство пропорции.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Прибавим к обеим частям равенства единицу:
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
Приведем каждую часть к общему знаменателю:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$
$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{c+d}{d}$.
Ответ: $\frac{c+d}{d}$.

Условие 2010-2022.

286 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания

$(a, b, c, d \ne 0):$

a) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = ...;$

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c} = ...;$

В) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = ...;$

Г) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b} = ...$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).