Номер 293, страница 65, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Следование и равносильность. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 293, страница 65.

Условие 2023.

293 Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$

б) $\frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50}$

Решение 2 (2023).

В основе решения лежит представление каждого слагаемого вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ в виде разности двух дробей. Для этого воспользуемся тождеством:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

а)

Применим указанное выше тождество к каждому слагаемому в сумме:
$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = $
$ = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
Раскрыв скобки, мы видим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, так как они идут парами с противоположными знаками (например, $ -\frac{1}{2} $ и $ +\frac{1}{2} $). Этот прием называется телескопическим суммированием.
$ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $
В результате остаются только первое и последнее слагаемые:
$ \frac{1}{1} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} $
Ответ: $ \frac{9}{10} $.

б)

Используем то же самое тождество: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.
Представим каждое слагаемое в виде разности дробей:
$ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50} = $
$ = (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{48} - \frac{1}{49}) + (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) $
После раскрытия скобок все промежуточные слагаемые, от $ -\frac{1}{7} $ до $ +\frac{1}{49} $, сокращаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{50} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 50 это 150.
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 25}{6 \cdot 25} - \frac{1 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{25}{150} - \frac{3}{150} = \frac{25 - 3}{150} = \frac{22}{150} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{22}{150} = \frac{11}{75} $
Ответ: $ \frac{11}{75} $.

Условие 2010-2022.

293 Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:

а) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $

б) $ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50} $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).