Номер 294, страница 65, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Следование и равносильность. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 294, страница 65.

Условие 2023.

Д 294

Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания.

Какие два взаимно обратных следования объединены в каждом предложении?

а) $x^2 = 49 \iff x = \dots$ или $x = \dots$;

б) $|x| = 2 \iff x = \dots$ или $x = \dots$;

в) $|x| < 5 \iff \dots < x < \dots$;

г) $|x| > 1 \iff x > \dots$ или $x < \dots$

Решение 2 (2023).

а) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить уравнение $x^2 = 49$. Это уравнение имеет два корня, поскольку возведение в квадрат как положительного, так и отрицательного числа дает положительный результат. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x = \sqrt{49}$ и $x = -\sqrt{49}$. Следовательно, решениями являются $x = 7$ и $x = -7$.
Завершенное предложение: $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = 7$ или $x = -7$.
Это утверждение, обозначаемое символом $\Leftrightarrow$ (тогда и только тогда, когда), объединяет два взаимно обратных следования (импликации):
1. Прямое следование: если $x^2 = 49$, то $x = 7$ или $x = -7$.
2. Обратное следование: если $x = 7$ или $x = -7$, то $x^2 = 49$.
Ответ: $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = 7$ или $x = -7$.

б) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить уравнение $|x| = 2$. По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Расстояние, равное 2, от нуля имеют два числа: 2 и -2.
Завершенное предложение: $|x| = 2 \Leftrightarrow x = 2$ или $x = -2$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| = 2$, то $x = 2$ или $x = -2$.
2. Обратное следование: если $x = 2$ или $x = -2$, то $|x| = 2$.
Ответ: $|x| = 2 \Leftrightarrow x = 2$ или $x = -2$.

в) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить неравенство $|x| < 5$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля на числовой прямой строго меньше 5. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся в интервале от -5 до 5, не включая концы интервала.
Завершенное предложение: $|x| < 5 \Leftrightarrow -5 < x < 5$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| < 5$, то $-5 < x < 5$.
2. Обратное следование: если $-5 < x < 5$, то $|x| < 5$.
Ответ: $|x| < 5 \Leftrightarrow -5 < x < 5$.

г) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить неравенство $|x| > 1$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля на числовой прямой строго больше 1. Этому условию удовлетворяют все числа, которые больше 1, а также все числа, которые меньше -1.
Завершенное предложение: $|x| > 1 \Leftrightarrow x > 1$ или $x < -1$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| > 1$, то $x > 1$ или $x < -1$.
2. Обратное следование: если $x > 1$ или $x < -1$, то $|x| > 1$.
Ответ: $|x| > 1 \Leftrightarrow x > 1$ или $x < -1$.

Условие 2010-2022.

294 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания.

Какие два взаимно обратных следования объединены в каждом предложении?

a) $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = \ldots \text{ или } x = \ldots;$

б) $|x| = 2 \Leftrightarrow x = \ldots \text{ или } x = \ldots;$

в) $|x| < 5 \Leftrightarrow \ldots < x < \ldots;$

г) $|x| > 1 \Leftrightarrow x > \ldots \text{ или } x < \ldots$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).