Страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10 Постройте график функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$.

Для построения графика функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$ проведем ее пошаговый анализ.

1. Нахождение области определения

Данная функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить из области определения значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = 2$. Записывается это так: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Чтобы упростить функцию, разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$2x^2 - x^3 = -x^2(-2 + x) = -x^2(x - 2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{-x^2(x - 2)}{x - 2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$y = -x^2$

Это означает, что график исходной функции полностью совпадает с графиком параболы $y = -x^2$, за исключением одной точки.

3. Анализ точки разрыва

Мы выяснили, что в точке $x = 2$ функция не определена. Такая точка называется точкой разрыва. Поскольку мы смогли сократить множитель $(x - 2)$, который создавал неопределенность, этот разрыв является устранимым. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка (пустой кружок).

Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = 2$ в упрощенную функцию $y = -x^2$:

$y = -(2)^2 = -4$

Следовательно, точка с координатами $(2; -4)$ не принадлежит графику функции.

4. Построение графика

Теперь мы можем построить график. Он представляет собой параболу $y = -x^2$ с "выколотой" точкой $(2; -4)$.

Основные характеристики параболы $y = -x^2$:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
• Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.
• Парабола симметрична относительно оси OY.

Построим параболу, не забывая отметить выколотую точку:

На графике изображена парабола $y = -x^2$, проходящая через начало координат, и показана выколотая точка $(2; -4)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$ является парабола $y = -x^2$ с выколотой точкой $(2; -4)$.

11 В четырёх классах проводили контрольную работу по теме «Функция $y = x^2$». В контрольной работе было 5 задач. Таблица распределения числа верно решённых задач такова:

Нарисуйте столбчатую диаграмму распределения процентных частот по трём группам: №1 («отстающие») — 0 или 1 решённая задача, №2 («успевающие») — 2 или 3 решённые задачи, №3 («отличники») — остальные.

Для того чтобы нарисовать столбчатую диаграмму, необходимо последовательно выполнить несколько шагов: сначала найти общее количество учеников, затем определить количество учеников в каждой группе и рассчитать для них процентную частоту.

1. Нахождение общего количества учеников.

Суммируем количество учеников, указанное во второй строке таблицы, чтобы найти общее число участников контрольной работы:

$N_{общ} = 7 + 13 + 17 + 27 + 17 + 19 = 100$ учеников.

2. Расчёт данных для каждой группы.

Процентная частота для каждой группы вычисляется по формуле: $W = \frac{N_{группы}}{N_{общ}} \times 100\%$.

Группа №1 («отстающие») — 0 или 1 решённая задача

Найдём количество учеников в данной группе, сложив число тех, кто решил 0 и 1 задачу:

$N_1 = 7 + 13 = 20$ учеников.

Теперь рассчитаем процентную частоту для этой группы:

$W_1 = \frac{20}{100} \times 100\% = 20\%$.

Группа №2 («успевающие») — 2 или 3 решённые задачи

Найдём количество учеников в этой группе, сложив число тех, кто решил 2 и 3 задачи:

$N_2 = 17 + 27 = 44$ ученика.

Рассчитаем процентную частоту для второй группы:

$W_2 = \frac{44}{100} \times 100\% = 44\%$.

Группа №3 («отличники») — остальные

В эту группу входят «остальные» ученики, то есть те, кто решил 4 или 5 задач. Их количество:

$N_3 = 17 + 19 = 36$ учеников.

Рассчитаем процентную частоту для третьей группы:

$W_3 = \frac{36}{100} \times 100\% = 36\%$.

3. Построение столбчатой диаграммы.

На основе полученных процентных частот построим столбчатую диаграмму. По горизонтальной оси будут отложены группы, а по вертикальной — процентные частоты. Высота каждого столбца будет соответствовать вычисленному проценту.

Ответ:

Процентные частоты распределения учеников по группам следующие: группа №1 («отстающие») — 20%; группа №2 («успевающие») — 44%; группа №3 («отличники») — 36%. Соответствующая столбчатая диаграмма, иллюстрирующая это распределение, представлена выше.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №8

Вариант 2

1 Не выполняя построения, ответьте на вопрос: графику какой функции, $y = x^2$ или $y = -x^2$, принадлежит заданная точка:

а) A(-2; -4);

б) B(-3; 9);

в) C(6; -36);

г) D(4; 16)?

Чтобы определить, графику какой функции, $y=x^2$ или $y=-x^2$, принадлежит заданная точка, необходимо подставить координаты точки $(x, y)$ в каждое уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику данной функции.

а) A(-2; -4);

Подставим координаты точки A, где $x=-2$ и $y=-4$, в каждое из уравнений.

1. Проверяем функцию $y=x^2$:
$y = (-2)^2 = 4$.
Полученный результат $y=4$ не равен ординате точки A ($y=-4$), так как $4 \neq -4$. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции $y=x^2$.

2. Проверяем функцию $y=-x^2$:
$y = -(-2)^2 = -(4) = -4$.
Полученный результат $y=-4$ равен ординате точки A, так как $-4 = -4$. Следовательно, точка A принадлежит графику функции $y=-x^2$.

Ответ: Точка A(-2; -4) принадлежит графику функции $y=-x^2$.

б) B(-3; 9);

Подставим координаты точки B, где $x=-3$ и $y=9$, в каждое из уравнений.

1. Проверяем функцию $y=x^2$:
$y = (-3)^2 = 9$.
Полученный результат $y=9$ равен ординате точки B, так как $9 = 9$. Следовательно, точка B принадлежит графику функции $y=x^2$.

2. Проверяем функцию $y=-x^2$:
$y = -(-3)^2 = -(9) = -9$.
Результат $y=-9$ не равен ординате точки B ($y=9$), так как $-9 \neq 9$.

Ответ: Точка B(-3; 9) принадлежит графику функции $y=x^2$.

в) C(6; -36);

Подставим координаты точки C, где $x=6$ и $y=-36$, в каждое из уравнений.

1. Проверяем функцию $y=x^2$:
$y = 6^2 = 36$.
Результат $y=36$ не равен ординате точки C ($y=-36$), так как $36 \neq -36$. Следовательно, точка C не принадлежит графику функции $y=x^2$.

2. Проверяем функцию $y=-x^2$:
$y = -(6)^2 = -36$.
Результат $y=-36$ равен ординате точки C, так как $-36 = -36$. Следовательно, точка C принадлежит графику функции $y=-x^2$.

Ответ: Точка C(6; -36) принадлежит графику функции $y=-x^2$.

г) D(4; 16)?

Подставим координаты точки D, где $x=4$ и $y=16$, в каждое из уравнений.

1. Проверяем функцию $y=x^2$:
$y = 4^2 = 16$.
Результат $y=16$ равен ординате точки D, так как $16 = 16$. Следовательно, точка D принадлежит графику функции $y=x^2$.

2. Проверяем функцию $y=-x^2$:
$y = -(4)^2 = -16$.
Результат $y=-16$ не равен ординате точки D ($y=16$), так как $-16 \neq 16$.

Ответ: Точка D(4; 16) принадлежит графику функции $y=x^2$.

2 Постройте график функции $y = -x^2$ и с его помощью найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а) $[ -3; 1 ]$;

б) $[ -2; 2 )$;

в) $( -\infty; -1 )$

Для решения задачи построим график функции $y = -x^2$ и проанализируем его.

График функции $y = -x^2$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Эта точка является точкой глобального максимума функции.

Составим таблицу значений для построения графика:

Используя график и свойства функции, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на заданных промежутках.

а) На отрезке $[-3; 1]$.
Данный отрезок содержит точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Поскольку ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке. $y_{наибольшее} = y(0) = -0^2 = 0$.
Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-3) = -(-3)^2 = -9$
$y(1) = -(1)^2 = -1$
Сравнивая эти два значения, видим, что наименьшее из них равно $-9$.
Ответ: $y_{наибольшее} = 0$, $y_{наименьшее} = -9$.

б) На промежутке $[-2; 2)$.
Этот промежуток также содержит вершину параболы $x=0$, поэтому наибольшее значение функции здесь также равно $0$. $y_{наибольшее} = y(0) = 0$.
Для нахождения наименьшего значения рассмотрим значения на границах промежутка. В точке $x=-2$ (которая входит в промежуток) значение функции равно $y(-2) = -(-2)^2 = -4$. Правая граница $x=2$ в промежуток не входит, но по мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $y(2) = -(2)^2 = -4$. Так как парабола симметрична относительно оси OY, а точка $x=-2$ принадлежит промежутку, то наименьшее значение функции на данном промежутке достигается и равно $-4$.
Ответ: $y_{наибольшее} = 0$, $y_{наименьшее} = -4$.

в) На промежутке $(-\infty; -1)$.
На этом интервале функция $y = -x^2$ является строго возрастающей. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом промежутке не существует.
Когда $x$ стремится к $-1$ (слева), $y$ стремится к $y(-1) = -(-1)^2 = -1$. Но так как точка $x=-1$ не принадлежит интервалу, функция никогда не достигает значения $-1$. Следовательно, наибольшего значения на данном промежутке также не существует.
Ответ: На данном промежутке функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

3 Сравните наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$ и наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 2]$.

Для решения задачи необходимо найти указанные значения для каждой функции по отдельности, а затем сравнить их.

Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$

Функция $y = x^2$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Своего глобального минимума она достигает в вершине. Вершина этой параболы находится в точке $x = 0$.
Поскольку точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-2; 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в этой точке.
Чтобы убедиться в этом, найдем значения функции на концах отрезка и в точке минимума:
$y(-2) = (-2)^2 = 4$
$y(1) = 1^2 = 1$
$y(0) = 0^2 = 0$
Сравнивая полученные значения $\{4, 1, 0\}$, видим, что наименьшее из них равно 0.
Ответ: 0.

Наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 2]$

Функция $y = -x^2$ является параболой, ветви которой направлены вниз. Своего глобального максимума она достигает в вершине. Вершина этой параболы также находится в точке $x = 0$.
Поскольку точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-1; 2]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в этой точке.
Найдем значения функции на концах отрезка и в точке максимума:
$y(-1) = -(-1)^2 = -1$
$y(2) = -(2)^2 = -4$
$y(0) = -(0)^2 = 0$
Сравнивая полученные значения $\{-1, -4, 0\}$, видим, что наибольшее из них равно 0.
Ответ: 0.

Сравнение наименьшего и наибольшего значений

Наименьшее значение функции $y=x^2$ на отрезке $[-2; 1]$ равно 0.
Наибольшее значение функции $y=-x^2$ на отрезке $[-1; 2]$ также равно 0.
Сравнивая эти два значения, получаем $0 = 0$.
Ответ: Значения равны.

4 Найдите точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 9$.

Для нахождения точек пересечения графиков функций необходимо решить систему уравнений, составленную из этих функций. В точках пересечения значения координат x и y у обоих графиков совпадают. Нам даны две функции:

1. $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх)

2. $y = 9$ (прямая, параллельная оси абсцисс)

Чтобы найти общие точки, приравняем правые части уравнений, так как их левые части равны (обе равны y):

$x^2 = 9$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно извлечь квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня, так как и положительное, и отрицательное число в квадрате дают положительный результат.

$x = \pm\sqrt{9}$

Отсюда получаем два значения для абсциссы (координаты x):

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения ординаты (координаты y). Из второго уравнения $y = 9$ нам уже известно, что в точках пересечения ордината всегда равна 9.

Таким образом, мы получаем две точки пересечения:

• При $x = 3$, $y = 9$. Координаты первой точки: $(3, 9)$.
• При $x = -3$, $y = 9$. Координаты второй точки: $(-3, 9)$.

Ответ: $(-3, 9)$ и $(3, 9)$.

5 Решите графически уравнение $-x^2 = x - 2$.

Для графического решения уравнения $-x^2 = x - 2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = -x^2$ (левая часть уравнения) и $y = x - 2$ (правая часть уравнения). Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут решениями данного уравнения.

1. Построение графика функции $y = -x^2$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен $-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
Для более точного построения составим таблицу значений:

2. Построение графика функции $y = x - 2$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.
Составим таблицу значений:

3. Нахождение точек пересечения и решения

Построив оба графика в одной системе координат, мы находим две точки их пересечения. Определим их координаты.
Первая точка пересечения: $(-2, -4)$.
Вторая точка пересечения: $(1, -1)$.
Выполним проверку, подставив координаты этих точек в уравнения обеих функций.

• Проверка точки $(-2, -4)$:
  Для параболы $y = -x^2$: $-4 = -(-2)^2 \implies -4 = -4$. Верно.
  Для прямой $y = x - 2$: $-4 = -2 - 2 \implies -4 = -4$. Верно.
• Проверка точки $(1, -1)$:
  Для параболы $y = -x^2$: $-1 = -(1)^2 \implies -1 = -1$. Верно.
  Для прямой $y = x - 2$: $-1 = 1 - 2 \implies -1 = -1$. Верно.

Координаты найдены верно. Решениями исходного уравнения являются абсциссы (координаты $x$) этих точек.

Ответ: $-2; 1$.

6 На графике функции $y = -x^2$ найдите точку, координаты которой — противоположные числа.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$.

Поскольку эта точка принадлежит графику функции $y = -x^2$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению:
$y = -x^2$ (1)

По условию задачи, координаты точки — противоположные числа. Это означает, что координата $y$ является противоположной по знаку координате $x$:
$y = -x$ (2)

Чтобы найти координаты точки, нужно решить систему, состоящую из этих двух уравнений. Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как их левые части равны:
$-x^2 = -x$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 1$

Для каждого найденного значения $x$ найдём соответствующее значение $y$, используя уравнение (2) $y = -x$:
1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
2. Если $x_2 = 1$, то $y_2 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.

Таким образом, на графике функции $y = -x^2$ существуют две точки, координаты которых являются противоположными числами.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

7. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 12x - 5$. Найдите:

а) $f(x + 1)$;

б) $f(x^2)$;

в) $f(-x)$;

г) $f(x^2 - 3)$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 12x - 5$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент вместо переменной $x$ в исходное выражение.

а) f(x + 1)

Чтобы найти $f(x + 1)$, подставим в выражение для функции $f(x)$ вместо $x$ выражение $(x + 1)$:

$f(x + 1) = 12(x + 1) - 5$

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$12(x + 1) - 5 = 12 \cdot x + 12 \cdot 1 - 5 = 12x + 12 - 5 = 12x + 7$

Ответ: $12x + 7$.

б) f(x²)

Чтобы найти $f(x²)$, подставим в выражение для функции $f(x)$ вместо $x$ выражение $x²$:

$f(x²) = 12(x²) - 5 = 12x² - 5$

Выражение уже упрощено.

Ответ: $12x² - 5$.

в) f(-x)

Чтобы найти $f(-x)$, подставим в выражение для функции $f(x)$ вместо $x$ выражение $(-x)$:

$f(-x) = 12(-x) - 5 = -12x - 5$

Выражение уже упрощено.

Ответ: $-12x - 5$.

г) f(x² - 3)

Чтобы найти $f(x² - 3)$, подставим в выражение для функции $f(x)$ вместо $x$ выражение $(x² - 3)$:

$f(x² - 3) = 12(x² - 3) - 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$12(x² - 3) - 5 = 12 \cdot x² - 12 \cdot 3 - 5 = 12x² - 36 - 5 = 12x² - 41$

Ответ: $12x² - 41$.