Страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

46.44 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{2}, & \text{если } x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения данной задачи необходимо определить, при каких значениях параметра $b$ уравнение $f(x)=b$ имеет определенное количество корней. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=b$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{2}, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \end{cases}$

Построим и проанализируем график функции $y=f(x)$:
1. На промежутке $(-\infty, -1]$ график функции $y = \frac{x+3}{2}$ представляет собой луч. Это возрастающая прямая. В граничной точке $x=-1$ имеем $y = \frac{-1+3}{2} = 1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, идущий из бесконечности и заканчивающийся в точке $(-1, 1)$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 1]$.
2. На промежутке $(-1, 2]$ график функции $y = x^2$ является частью параболы. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, которая принадлежит данному интервалу и является точкой локального минимума. При $x \to -1^+$, $y \to (-1)^2=1$. В точке $x=2$ имеем $y = 2^2 = 4$. Область значений на этом промежутке: $[0, 4]$.

Общая область значений функции $E(f)$ является объединением областей значений на этих двух промежутках: $(-\infty, 1] \cup [0, 4] = (-\infty, 4]$.

Теперь, анализируя пересечение графика $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=b$, найдем количество корней в зависимости от $b$.

а) имеет один корень;
Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Прямая $y=b$ лежит ниже локального минимума параболы ($y=0$), то есть при $b < 0$. В этом случае прямая пересекает только луч $y=\frac{x+3}{2}$ в одной точке.
2. Прямая $y=b$ лежит выше точки "стыка" графиков ($y=1$) и доходит до максимального значения функции включительно, то есть при $1 < b \le 4$. В этом диапазоне прямая пересекает только возрастающую часть параболы ($x \in (1, 2]$) в одной точке. При $b=4$ пересечение происходит в точке $(2, 4)$.
Объединяя эти условия, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (-\infty, 0) \cup (1, 4]$.
Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup (1, 4]$.

б) имеет два корня;
Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в двух точках. Это происходит в двух случаях:
1. При $b=0$. Прямая $y=0$ проходит через вершину параболы $(0, 0)$ (один корень $x=0$) и пересекает луч в точке $(-3, 0)$ (второй корень $x=-3$).
2. При $b=1$. Прямая $y=1$ проходит через точку "стыка" $(-1, 1)$ (один корень $x=-1$ от первой части функции) и пересекает параболу в точке $(1, 1)$ (второй корень $x=1$ от второй части функции).
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b=0$ и $b=1$.
Ответ: $b=0; b=1$.

в) имеет три корня;
Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции в трех точках. Это происходит, когда значение $b$ находится строго между значением в локальном минимуме ($y=0$) и значением в точке "стыка" ($y=1$), то есть при $0 < b < 1$.
В этом случае прямая $y=b$ пересекает:
- луч $y=\frac{x+3}{2}$ в одной точке;
- параболу $y=x^2$ в двух точках (на участках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$).
Таким образом, уравнение имеет три корня при $b \in (0, 1)$.
Ответ: $b \in (0, 1)$.

г) не имеет корней?
Уравнение не имеет корней, когда прямая $y=b$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции $y=f(x)$. Это происходит, когда прямая $y=b$ проходит выше максимального значения функции. Максимальное значение функции $f(x)$ равно $4$ (достигается в точке $x=2$). Следовательно, при $b>4$ корней нет.
Ответ: $b \in (4, \infty)$.

46.45 При каких значениях b уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $f(x)$. Для этого сначала построим и проанализируем график функции $f(x)$.

Функция задана кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 2. \end{cases}$

1. На промежутке $(-\infty, -1]$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -2x - 2$. Это луч. Найдем координаты его начальной точки, подставив $x = -1$: $y = -2(-1) - 2 = 0$. Таким образом, луч начинается в точке $(-1, 0)$. Поскольку угловой коэффициент равен -2 (отрицательный), функция на этом участке убывает, и ее значения принадлежат промежутку $[0, +\infty)$.

2. На промежутке $(-1, 2]$ график функции совпадает с графиком квадратичной функции $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

• Вершина $(0, 0)$ принадлежит рассматриваемому промежутку, так как $-1 < 0 \le 2$. В этой точке функция достигает своего локального максимума, равного 0.
• Найдем значения на границах промежутка. При $x=2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ принадлежит графику.
• При $x$, стремящемся к $-1$ справа ($x \to -1^+$), значение $y$ стремится к $-(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку графика (является "выколотой").
• Значения функции на этом участке покрывают промежуток $[-4, 0]$.

Теперь, анализируя положение горизонтальной прямой $y=b$ относительно построенного графика, найдем количество корней уравнения $f(x)=b$.

а) имеет один корень

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:

• Когда прямая пересекает только линейный участок (луч), что соответствует значениям $b > 0$.
• Когда прямая $y = -4$ касается параболического участка в его крайней точке $(2, -4)$.
• Когда прямая проходит между значениями $y=-4$ и $y=-1$, то есть $-4 < b < -1$. В этом случае она пересекает только правую ветвь параболы на заданном интервале.
• Когда прямая $y = -1$ пересекает параболу в точке $x=1$ (решение уравнения $-x^2=-1$) и проходит через "выколотую" точку $(-1, -1)$.

Объединив эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (0, +\infty) \cup [-4, -1]$.

Ответ: $b \in [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.

б) имеет два корня

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ в двух точках. Это происходит в следующих случаях:

• Когда $b=0$, прямая $y=0$ пересекает график в двух точках: $x=-1$ (на луче) и $x=0$ (вершина параболы).
• Когда $-1 < b < 0$, прямая пересекает параболический участок в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$ (например, для $b = -0.25$, корни $x = \pm 0.5$). Оба корня принадлежат интервалу $(-1, 2]$.

Объединив эти случаи, получаем, что уравнение имеет два корня при $b \in (-1, 0]$.

Ответ: $b \in (-1, 0]$.

в) имеет три корня

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ в трех точках. Проанализировав график, можно заключить, что ни одна горизонтальная прямая не может пересечь его более чем в двух точках. Следовательно, не существует таких значений $b$, при которых уравнение имело бы три корня.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

г) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, когда прямая $y=b$ не имеет общих точек с графиком функции $y=f(x)$. Наименьшее значение функции равно -4 (в точке $x=2$). Если значение $b$ будет меньше этого числа, пересечений не будет.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $b < -4$.

Ответ: $b < -4$.

46.46 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1; \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет бесконечное множество корней;

г) не имеет корней?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $b$ уравнение $f(x) = b$ имеет определенное количество корней, необходимо исследовать, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$.

Функция задана кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Часть параболы $y=x^2$ для всех $x$, не превосходящих 1. Эта часть включает в себя вершину параболы в точке $(0,0)$ и ветвь, уходящую влево вверх, а также правую ветвь до точки $(1,1)$ включительно. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $[0, +\infty)$.
2. Горизонтальный луч $y=-2$, начинающийся от точки $(1,-2)$ (не включая ее) и идущий вправо. Значение функции на этом участке всегда равно -2.

Проанализируем количество решений уравнения $f(x)=b$ в зависимости от $b$, рассматривая пересечение прямой $y=b$ с графиком $y=f(x)$.

а) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, если прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в двух случаях:

• Если прямая $y=b$ касается вершины параболы. Это происходит при $b=0$. Корень уравнения в этом случае $x=0$. Так как $0 \le 1$, это решение подходит.
• Если прямая $y=b$ находится выше точки $(1,1)$ параболы, то есть при $b > 1$. В этом случае прямая пересекает только левую ветвь параболы $y=x^2$ (где $x < 0$). Уравнение $x^2=b$ дает корень $x=-\sqrt{b}$, который удовлетворяет условию $x \le 1$. Второй корень $x=\sqrt{b}$ не подходит, так как $\sqrt{b} > 1$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b=0$ или $b > 1$.

Ответ: $b=0$ или $b > 1$.

б) имеет два корня;

Уравнение имеет два корня, если прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ в двух точках. Это происходит, когда прямая $y=b$ пересекает обе ветви параболы на участке $x \le 1$.

• Если $0 < b < 1$, прямая $y=b$ пересекает параболу в точках $x=\sqrt{b}$ и $x=-\sqrt{b}$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 1$, так как для таких $b$ выполняется $0 < \sqrt{b} < 1$.
• Если $b=1$, прямая $y=b$ пересекает параболу в точках $x=1$ и $x=-1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 1$.

Следовательно, уравнение имеет два корня при $0 < b \le 1$.

Ответ: $0 < b \le 1$.

в) имеет бесконечное множество корней;

Уравнение имеет бесконечное множество корней, если прямая $y=b$ совпадает с одной из частей графика. Это происходит, когда $b=-2$. В этом случае прямая $y=-2$ совпадает с графиком функции на всем интервале $x > 1$. Любое число из этого интервала является решением уравнения.

Ответ: $b=-2$.

г) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=b$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции $y=f(x)$. Область значений функции $f(x)$ есть объединение множеств $[0, +\infty)$ и $\{-2\}$. Если значение $b$ не входит в эту область, то корней нет.

Это происходит, когда $b$ меньше нуля, но не равно -2. То есть, при $b < -2$ или при $-2 < b < 0$.

Ответ: $b < -2$ или $-2 < b < 0$.

46.47 Решите графически уравнение:

a) $f(x) = 1$;

б) $f(x) = 4$;

в) $f(x) = 9$;

г) $f(x) = 0$,

где $f(x) = \begin{cases} 0.5x + 5, & \text{если } -10 \le x \le -2; \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3. \end{cases}$

Для графического решения уравнений вида $f(x) = c$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и найти абсциссы (координаты $x$) точек его пересечения с горизонтальной прямой $y = c$.

В данной задаче функция $f(x)$ является кусочно-заданной:

$f(x) = \begin{cases} 0,5x + 5, & \text{если } -10 \le x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \end{cases}$

Построим график этой функции. Он состоит из двух частей.

1. На отрезке $[-10, -2]$ график совпадает с графиком линейной функции $y = 0,5x + 5$. Это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек:

   • Если $x = -10$, то $y = 0,5 \cdot (-10) + 5 = -5 + 5 = 0$. Получаем точку $(-10, 0)$.

   • Если $x = -2$, то $y = 0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.

2. На полуинтервале $(-2, 3]$ график совпадает с графиком квадратичной функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

   • На левой границе, при $x \to -2$, значение функции стремится к $(-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ не входит в эту часть графика (обозначается выколотой), но она является конечной точкой для первой части, поэтому функция в точке $x = -2$ непрерывна и $f(-2)=4$.

   • На правой границе, при $x = 3$, значение функции равно $3^2 = 9$. Получаем точку $(3, 9)$.

Теперь, используя построенный график, решим каждое уравнение.

а) $f(x) = 1$;

Нам нужно найти абсциссы точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=1$. Видно, что таких точек пересечения три. Найдем их точные координаты, решив соответствующие уравнения.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 1 \implies 0,5x = -4 \implies x = -8$. Корень $x = -8$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$. Оба корня принадлежат интервалу $(-2, 3]$.

Уравнение имеет три решения.

Ответ: $-8; -1; 1$.

б) $f(x) = 4$;

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=4$. Таких точек две.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 4 \implies 0,5x = -1 \implies x = -2$. Корень $x = -2$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$. Корень $x=2$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$. Корень $x=-2$ не принадлежит этому интервалу, но он уже найден как решение на первом участке (это точка "стыка" двух графиков).

Уравнение имеет два решения.

Ответ: $-2; 2$.

в) $f(x) = 9$;

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=9$. Такая точка одна.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 9 \implies 0,5x = 4 \implies x = 8$. Корень $x=8$ не принадлежит отрезку $[-10, -2]$, поэтому на этом участке решений нет.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$. Корень $x=3$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$. Корень $x=-3$ не принадлежит этому интервалу.

Уравнение имеет одно решение.

Ответ: $3$.

г) $f(x) = 0$,

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=0$ (осью абсцисс $Ox$). Таких точек две.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 0 \implies 0,5x = -5 \implies x = -10$. Корень $x=-10$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Корень $x=0$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$.

Уравнение имеет два решения.

Ответ: $-10; 0$.

46.48 Решите графически уравнение:

а) $f(x) = -1$;

б) $f(x) = -4$;

в) $f(x) = 2$;

г) $f(x) = 0$,

где $f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ 3x - 7, \text{ если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Для решения уравнений графически, сначала построим график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1; \\ 3x - 7, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

График состоит из двух частей. Первая часть — это участок параболы $y = -x^2$ на отрезке $[-2, 1]$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Значения на концах отрезка: $f(-2) = -(-2)^2 = -4$ и $f(1) = -(1)^2 = -1$. Вторая часть — это отрезок прямой $y = 3x - 7$ на полуинтервале $(1, 3]$. Найдём значения на концах: при $x$, стремящемся к 1 справа, $y$ стремится к $3(1) - 7 = -4$, поэтому точка $(1, -4)$ является выколотой. При $x=3$, $y = 3(3) - 7 = 2$, точка $(3, 2)$ принадлежит графику.

Решение каждого уравнения $f(x) = k$ сводится к нахождению абсцисс (координат $x$) точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = k$.

а) $f(x) = -1$

Проведём горизонтальную прямую $y = -1$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = -1$. Получаем $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Оба значения входят в данный интервал.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = -1$. Получаем $3x = 6$, откуда $x_3 = 2$. Это значение входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x = -1, x = 1, x = 2$.

б) $f(x) = -4$

Проведём горизонтальную прямую $y = -4$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = -4$. Получаем $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. В данный интервал входит только $x_1 = -2$.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = -4$. Получаем $3x = 3$, откуда $x = 1$. Это значение не входит в интервал $(1, 3]$, так как он открыт слева (точка $(1, -4)$ выколота).
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = -2$.

в) $f(x) = 2$

Проведём горизонтальную прямую $y = 2$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ график функции $y = -x^2$ имеет максимальное значение $0$. Так как $2 > 0$, на этом участке пересечений нет.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = 2$. Получаем $3x = 9$, откуда $x_1 = 3$. Это значение входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 3$.

г) $f(x) = 0$

Проведём горизонтальную прямую $y = 0$ (ось Ox) и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = 0$. Получаем $x_1 = 0$. Это значение входит в данный интервал.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = 0$. Получаем $3x = 7$, откуда $x_2 = 7/3$. Значение $x = 7/3$ (или $2\frac{1}{3}$) входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0, x = 7/3$.