Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

46.20 Для функции из упражнения 46.17 а) найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном $-1; 0; 2; 4; $

б) значения аргумента, если значение функции равно $0; 1; 4; $

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 2]; $

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Поскольку в условии задачи 46.20 указано использовать функцию из упражнения 46.17 а), которое не предоставлено, мы будем исходить из наиболее вероятного предположения, что речь идет о базовой квадратичной функции $y = x^2$. Свойства этой функции полностью соответствуют характеру поставленных вопросов.

Итак, будем работать с функцией $f(x) = x^2$.

а) значения функции при значении аргумента, равном –1; 0; 2; 4;

Чтобы найти значения функции, необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = x^2$.

• При $x = -1$: $y = f(-1) = (-1)^2 = 1$.
• При $x = 0$: $y = f(0) = 0^2 = 0$.
• При $x = 2$: $y = f(2) = 2^2 = 4$.
• При $x = 4$: $y = f(4) = 4^2 = 16$.

Ответ: при $x = -1$ значение функции равно 1; при $x = 0$ — 0; при $x = 2$ — 4; при $x = 4$ — 16.

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; 1; 4;

Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых функция принимает заданные значения ($y$), необходимо решить уравнения вида $x^2 = y$.

• Если $y = 0$:
  $x^2 = 0$
  $x = 0$
• Если $y = 1$:
  $x^2 = 1$
  $x = 1$ или $x = -1$
• Если $y = 4$:
  $x^2 = 4$
  $x = 2$ или $x = -2$

Ответ: значение функции равно 0 при $x = 0$; значение функции равно 1 при $x = 1$ и $x = -1$; значение функции равно 4 при $x = 2$ и $x = -2$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2];

Функция $f(x) = x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Её вершина находится в точке $(0, 0)$, и это точка глобального минимума.

Наименьшее значение на отрезке $[-1; 2]$: поскольку точка минимума $x = 0$ принадлежит данному отрезку, то наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению в этой точке.

$y_{наим} = f(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение на отрезке ищется на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 2$.

$f(-1) = (-1)^2 = 1$

$f(2) = 2^2 = 4$

Сравнивая полученные значения $1$ и $4$, выбираем наибольшее. Таким образом, $y_{наиб} = 4$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно 0 (достигается при $x=0$), а наибольшее значение равно 4 (достигается при $x=2$).

г) промежутки возрастания и убывания функции.

График функции $f(x) = x^2$ — парабола с вершиной в точке $x=0$.

Слева от вершины, при $x < 0$, каждая последующая точка графика ниже предыдущей, следовательно, функция убывает.

Справа от вершины, при $x > 0$, каждая последующая точка графика выше предыдущей, следовательно, функция возрастает.

Таким образом:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

46.21 Для функции из упражнения 46.18 а) найдите:

а) область определения;

б) наименьшее и наибольшее значения;

в) промежутки убывания и возрастания;

г) точки разрыва.

Данная задача относится к функции из упражнения 46.18 а), которая задается следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} 2x+8, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ 5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Проанализируем эту функцию по пунктам.

а) область определения;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная функция определена для всех действительных чисел, так как она задана на трех промежутках, которые в объединении покрывают всю числовую ось:

• На промежутке $(-\infty, -2]$ функция задана формулой $f(x) = 2x+8$.
• На промежутке $(-2, 2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2$.
• На промежутке $(2, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = 5$.

Объединение этих промежутков $(-\infty, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, +\infty)$ дает множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

б) наименьшее и наибольшее значения;

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции, исследуем ее поведение на каждом из промежутков области определения.

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ функция $f(x) = 2x+8$ является возрастающей линейной функцией. При $x \to -\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Максимальное значение на этом отрезке достигается при $x=-2$: $f(-2) = 2(-2)+8 = 4$. Таким образом, на этом промежутке множество значений функции равно $(-\infty, 4]$.

2. На промежутке $(-2, 2]$ функция $f(x) = x^2$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$. Наименьшее значение на этом промежутке достигается в вершине: $f(0) = 0$. Наибольшее значение достигается на концах промежутка. При $x \to -2^+$, $f(x) \to (-2)^2 = 4$. При $x=2$, $f(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, на этом промежутке множество значений функции равно $[0, 4]$.

3. На промежутке $(2, +\infty)$ функция $f(x) = 5$ является постоянной. Множество значений на этом промежутке состоит из одного числа $\{5\}$.

Объединяя все полученные множества значений, получаем область значений функции: $E(f) = (-\infty, 4] \cup [0, 4] \cup \{5\} = (-\infty, 4] \cup \{5\}$.

Из области значений видно, что функция не ограничена снизу ($f(x) \to -\infty$ при $x \to -\infty$), следовательно, наименьшего значения у функции не существует.

Наибольшим значением в множестве $(-\infty, 4] \cup \{5\}$ является число 5. Это значение достигается при любом $x > 2$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 5.

Ответ: Наименьшее значение не существует, наибольшее значение равно 5.

в) промежутки убывания и возрастания;

Для определения промежутков монотонности исследуем поведение функции на каждом участке.

1. На интервале $(-\infty, -2)$ функция $f(x) = 2x+8$. Ее производная $f'(x) = 2 > 0$, следовательно, функция строго возрастает на этом интервале. Так как в точке $x=-2$ функция непрерывна слева, то она возрастает на всем промежутке $(-\infty, -2]$.

2. На интервале $(-2, 2)$ функция $f(x) = x^2$. Ее производная $f'(x) = 2x$.

• При $x \in (-2, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (0, 2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Учитывая непрерывность функции в точках $x=-2$ и $x=0$, можно утверждать, что функция убывает на промежутке $[-2, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 2]$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция $f(x) = 5$ является постоянной.

Объединяем полученные результаты:

• Промежутки возрастания: $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.
• Промежуток убывания: $[-2, 0]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, убывает на промежутке $[-2, 0]$.

г) точки разрыва.

Функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках $x=-2$ и $x=2$. В остальных точках она непрерывна как элементарная функция (линейная, квадратичная, постоянная).

Проверим непрерывность в точке $x = -2$. Для непрерывности в точке необходимо, чтобы существовал предел функции в этой точке и он был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to-2} f(x) = f(-2)$.
Значение функции в точке: $f(-2) = 2(-2)+8 = 4$.
Найдем односторонние пределы:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (2x+8) = 2(-2)+8 = 4$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} x^2 = (-2)^2 = 4$.

Так как левосторонний и правосторонний пределы равны и совпадают со значением функции в точке ($4 = 4$), функция непрерывна в точке $x=-2$.

Проверим непрерывность в точке $x = 2$.
Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 = 4$.
Найдем односторонние пределы:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 5 = 5$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$), предел функции в точке $x=2$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=2$. Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Точка разрыва $x=2$.

46.22 Для функции из упражнения 46.19 а) найдите:

а) область определения;

б) множество значений функции;

в) промежутки убывания и возрастания;

г) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля.

Для решения задачи необходимо сначала определить функцию из упражнения 46.19 а). Исходя из типичного содержания учебников по алгебре для старших классов, можно предположить, что речь идет о функции $y = \log_2(x-1)$. Проведем ее полный анализ в соответствии с пунктами задания.

а) область определения;

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.

Для нашей функции $y = \log_2(x-1)$ это условие принимает вид:

$x - 1 > 0$

Решая данное неравенство, получаем:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие 1.

Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

б) множество значений функции;

Множеством значений для любой основной логарифмической функции вида $y = \log_a(x)$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Функция $y = \log_2(x-1)$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ путем его сдвига на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений функции.

При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1+$), аргумент $x-1$ стремится к $0+$, а значение функции $y = \log_2(x-1)$ стремится к $-\infty$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, аргумент $x-1$ также стремится к $+\infty$, и значение функции $y$ стремится к $+\infty$.

Следовательно, функция может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) промежутки убывания и возрастания;

Монотонность логарифмической функции зависит от ее основания. В функции $y = \log_2(x-1)$ основание логарифма равно 2.

Поскольку основание $a=2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей на всей своей области определения.

Это можно также подтвердить с помощью производной. Найдем производную функции:

$y' = (\log_2(x-1))' = \left(\frac{\ln(x-1)}{\ln 2}\right)' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}$

На всей области определения $x \in (1; +\infty)$ выполняется условие $x-1 > 0$. Так как $\ln 2$ также является положительным числом, то производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.

Положительная производная означает, что функция строго возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(1; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля.

1. Найдем, при каких значениях аргумента функция равна нулю ($y=0$):

$\log_2(x-1) = 0$

Из определения логарифма следует:

$x-1 = 2^0$

$x-1 = 1$

$x = 2$

2. Найдем, при каких значениях аргумента функция больше нуля ($y>0$):

$\log_2(x-1) > 0$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при потенцировании:

$x-1 > 2^0$

$x-1 > 1$

$x > 2$

3. Найдем, при каких значениях аргумента функция меньше нуля ($y<0$):

$\log_2(x-1) < 0$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-1 < 2^0$

$x-1 < 1$

$x < 2$

Совмещая это условие с областью определения функции ($x>1$), получаем интервал $1 < x < 2$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1; 2)$.

46.23 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(-12) - 44, f(9) - 1, f(7) - f(3), f(3) + f(4);$

б) $f(a + b), f(a) + b, f(b) - a, f(a) + f(b);$

в) $f(ab), af(b), -bf(a), f\left(\frac{a}{b}\right);$

г) $f(x - 1) + f(x + 1), f(x + 2) - f(x), \frac{f(x) - 1}{f(x - 1)}, \frac{f(x + 2)}{f(x) - 4}.$

Дана функция $f(x) = x^2$. Для решения задачи необходимо подставлять в эту формулу вместо $x$ указанные в скобках у $f$ значения или выражения.

а) Выполним вычисления для числовых аргументов:
$f(-12) - 44 = (-12)^2 - 44 = 144 - 44 = 100$.
$f(9) - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$.
$f(7) - f(3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$.
$f(3) + f(4) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Ответ: $100$; $80$; $40$; $25$.

б) Найдем значения выражений с переменными $a$ и $b$:
$f(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$f(a) + b = (a^2) + b = a^2 + b$.
$f(b) - a = (b^2) - a = b^2 - a$.
$f(a) + f(b) = a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$; $a^2 + b$; $b^2 - a$; $a^2 + b^2$.

в) Найдем значения выражений, включающих произведения и частные:
$f(ab) = (ab)^2 = a^2b^2$.
$af(b) = a \cdot (b^2) = ab^2$.
$-bf(a) = -b \cdot (a^2) = -a^2b$.
$f\left(\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Данное выражение определено при $b \ne 0$.
Ответ: $a^2b^2$; $ab^2$; $-a^2b$; $\frac{a^2}{b^2}$.

г) Упростим функциональные выражения:
$f(x - 1) + f(x + 1) = (x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2$.
$f(x + 2) - f(x) = (x + 2)^2 - x^2 = (x^2 + 4x + 4) - x^2 = 4x + 4$.
$\frac{f(x) - 1}{f(x - 1)} = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$. Сокращение дроби возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne 1$.
$\frac{f(x + 2)}{f(x) - 4} = \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4} = \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x-2}$. Сокращение дроби возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $x^2-4 \ne 0$, откуда $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Ответ: $2x^2 + 2$; $4x + 4$; $\frac{x+1}{x-1}$; $\frac{x+2}{x-2}$.

46.24 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -4 \le x \le 1; \\ 2x, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

Выясните, корректно ли предложенное задание, и если да, то выполните его:

а) вычислите $f(-4)$;

б) вычислите $f(1)$;

в) вычислите $f(-4,5)$;

г) вычислите $f(4,9)$.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -4 \le x \le 1 \\ 2x, & \text{если } 1 < x \le 5 \end{cases}$

Для начала выясним, корректно ли предложенное задание. Задание будет корректным, если аргументы функции, значения которых требуется вычислить, принадлежат области определения функции. Область определения данной функции $D(f)$ — это объединение промежутков $[-4; 1]$ и $(1; 5]$, то есть отрезок $[-4; 5]$.

Задание в пункте в) некорректно, так как значение аргумента $x = -4,5$ не входит в область определения функции. Остальные пункты корректны, выполним их.

а) вычислите f(-4)
Значение аргумента $x = -4$ принадлежит промежутку $[-4; 1]$. Следовательно, для вычисления значения функции нужно использовать формулу $f(x) = x^2$.
$f(-4) = (-4)^2 = 16$.
Ответ: 16.

б) вычислите f(1)
Значение аргумента $x = 1$ принадлежит промежутку $[-4; 1]$ (так как неравенство $x \le 1$ нестрогое). Следовательно, для вычисления значения функции нужно использовать формулу $f(x) = x^2$.
$f(1) = 1^2 = 1$.
Ответ: 1.

в) вычислите f(-4,5)
Значение аргумента $x = -4,5$ не принадлежит области определения функции $D(f) = [-4; 5]$, так как $-4,5 < -4$. Следовательно, вычислить значение функции $f(-4,5)$ невозможно.
Ответ: Задание некорректно.

г) вычислите f(4,9)
Значение аргумента $x = 4,9$ принадлежит промежутку $(1; 5]$. Следовательно, для вычисления значения функции нужно использовать формулу $f(x) = 2x$.
$f(4,9) = 2 \cdot 4,9 = 9,8$.
Ответ: 9,8.

46.25 Можно ли считать, что $y = f(x)$ — функция, где

a) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ 2x, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0; \\ x^2, & \text{если } x \ge -1? \end{cases}$

а)

По определению, зависимость $y = f(x)$ является функцией, если каждому значению независимой переменной $x$ из области определения функции соответствует ровно одно, единственное значение зависимой переменной $y$.

В данном случае, кусочно-заданная зависимость определена на двух промежутках:

1. $y = x^2$ для $x \in [-4, 0]$;
2. $y = 2x$ для $x \in [1, \infty)$.

Область определения $D(f)$ является объединением этих двух промежутков: $D(f) = [-4, 0] \cup [1, \infty)$.

Чтобы проверить, является ли эта зависимость функцией, нужно убедиться, что для каждого $x$ из $D(f)$ существует только один $y$. Это нарушается, если области определения разных "кусочков" пересекаются, и в точках пересечения значения не совпадают.

В нашем случае промежутки $[-4, 0]$ и $[1, \infty)$ не пересекаются. Их пересечение является пустым множеством. Это означает, что для любого $x$ из области определения $D(f)$ существует только одно правило для вычисления $y$. Например, для $x=-2$ (попадает в первый промежуток) $y = (-2)^2 = 4$. Для $x=3$ (попадает во второй промежуток) $y = 2 \cdot 3 = 6$. Не существует такого $x$, для которого можно было бы применить обе формулы одновременно.

Следовательно, каждому значению $x$ из области определения $D(f)$ соответствует единственное значение $y$.

Ответ: Да, можно считать, что $y=f(x)$ — функция.

б)

Рассмотрим зависимость $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < 0; \\ x^2, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

Эта зависимость определена на двух промежутках:

1. $y = x+2$ для $x \in (-\infty, 0)$;
2. $y = x^2$ для $x \in [-1, \infty)$.

Найдем пересечение этих двух промежутков. Это множество всех $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x < 0$ и $x \ge -1$. Таким образом, промежутки пересекаются на интервале $[-1, 0)$.

Для любого $x$ из этого интервала $[-1, 0)$ существуют два правила для вычисления $y$. Чтобы зависимость была функцией, результаты вычислений по обоим правилам должны быть одинаковыми для всех $x$ из интервала пересечения. Проверим, выполняется ли равенство: $x+2 = x^2$

Перепишем уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$.

Равенство $x+2=x^2$ справедливо только для двух значений $x$. Однако, для того чтобы $f(x)$ была функцией, это равенство должно было бы выполняться для всех $x$ из интервала пересечения $[-1, 0)$.

Возьмем произвольную точку из интервала $[-1, 0)$, например, $x = -0.5$, и вычислим значение $y$ по обоим правилам:

• По первому правилу ($x < 0$): $y = -0.5 + 2 = 1.5$.
• По второму правилу ($x \ge -1$): $y = (-0.5)^2 = 0.25$.

Поскольку $1.5 \ne 0.25$, одному значению $x=-0.5$ соответствуют два разных значения $y$. Это нарушает определение функции.

Ответ: Нет, нельзя считать, что $y=f(x)$ — функция.