Страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

46.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 0, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-2), f(0), f(2), f(-1), f(3);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, в какой из двух промежутков попадает значение аргумента $x$, и применить соответствующую формулу.

Чтобы найти $f(-2)$, заметим, что $x=-2$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-2) = -(-2)^2 = -(4) = -4$.

Чтобы найти $f(0)$, заметим, что $x=0$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Используем ту же формулу $f(x) = -x^2$.
$f(0) = -(0)^2 = 0$.

Чтобы найти $f(2)$, заметим, что $x=2$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 0$.
$f(2) = 0$.

Чтобы найти $f(-1)$, заметим, что $x=-1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-1) = -(-1)^2 = -(1) = -1$.

Чтобы найти $f(3)$, заметим, что $x=3$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$. Используем формулу $f(x) = 0$.
$f(3) = 0$.

Ответ: $f(-2) = -4$; $f(0) = 0$; $f(2) = 0$; $f(-1) = -1$; $f(3) = 0$.

б) Построение графика функции $y = f(x)$ выполняется по частям, для каждого промежутка области определения.

1. На отрезке $[-2, 0]$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:
- при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Координаты точки $(-2, -4)$.
- при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Координаты точки $(-1, -1)$.
- при $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Координаты точки $(0, 0)$.
Так как концы отрезка $x=-2$ и $x=0$ включены, точки $(-2, -4)$ и $(0, 0)$ на графике будут закрашенными.

2. На полуинтервале $(0, 3]$ функция имеет вид $y = 0$. Это отрезок прямой, совпадающий с осью абсцисс, от точки $x=0$ (не включая) до точки $x=3$ (включая). Графиком является отрезок, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$. Точка $(3, 0)$ будет закрашенной. Точка $(0, 0)$ на этом участке была бы выколотой, но она уже определена и закрашена в предыдущем шаге, поэтому разрыва в этой точке нет.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Он состоит из дуги параболы, идущей от точки $(-2, -4)$ до $(0, 0)$, и отрезка оси $Ox$ от точки $(0, 0)$ до $(3, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, состоящую из двух частей: участка параболы $y=-x^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и отрезка прямой $y=0$ на полуинтервале $(0, 3]$.

в) С помощью построенного графика опишем основные свойства функции $y = f(x)$.

1. Область определения функции: множество всех значений $x$, для которых функция определена. $D(f) = [-2, 3]$.

2. Область значений функции: множество всех значений $y$, которые принимает функция. $E(f) = [-4, 0]$.

3. Нули функции: значения $x$, при которых $f(x)=0$. Это происходит при $x=0$ и на всем промежутке $(0, 3]$. Таким образом, нули функции — это все $x \in [0, 3]$.

4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): таких промежутков нет.
- $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x \in [-2, 0)$.

5. Промежутки монотонности:
- функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$.
- функция постоянна на промежутке $(0, 3]$.
- функция не убывает.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции:
- наименьшее значение: $y_{наим} = f(-2) = -4$.
- наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$, достигается при всех $x \in [0, 3]$.

7. Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 3]$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

8. Непрерывность: На графике нет разрывов, он представляет собой сплошную линию. Функция непрерывна на всей области определения $[-2, 3]$.

Ответ: Свойства функции: $D(f) = [-2, 3]$; $E(f) = [-4, 0]$; нули функции при $x \in [0, 3]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-2, 0)$; функция возрастает на $[-2, 0]$ и постоянна на $(0, 3]$; $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 0$; функция непрерывная, общего вида.

46.40 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1; \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-1)$, $f(2)$, $f(1)$, $f(1,5)$, $f(-2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1; \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Для вычисления значений функции необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.
- Для $f(-1)$: значение $x = -1$ принадлежит промежутку $[-2, 0]$, поэтому используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(-1) = (-1)^2 = 1$.
- Для $f(2)$: значение $x = 2$ принадлежит промежутку $(1, 3)$, поэтому используем формулу $f(x) = 4$.
$f(2) = 4$.
- Для $f(1)$: значение $x = 1$ принадлежит промежутку $(0, 1]$, поэтому используем формулу $f(x) = 4x$.
$f(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
- Для $f(1,5)$: значение $x = 1,5$ принадлежит промежутку $(1, 3)$, поэтому используем формулу $f(x) = 4$.
$f(1,5) = 4$.
- Для $f(-2)$: значение $x = -2$ принадлежит промежутку $[-2, 0]$, поэтому используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(-2) = (-2)^2 = 4$.
Ответ: $f(-1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(1) = 4$, $f(1,5) = 4$, $f(-2) = 4$.

График функции $y=f(x)$ состоит из трех частей, которые строятся на соответствующих промежутках:
1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Границами этого участка служат точки $(-2, f(-2)) = (-2, 4)$ и $(0, f(0)) = (0, 0)$. Обе точки являются частью графика (закрашенные).
2. На промежутке $(0, 1]$ строим график функции $y = 4x$. Это отрезок прямой, проходящей через начало координат. Границами служат точки $(0, 0)$ и $(1, f(1)) = (1, 4)$. Точка $(0, 0)$ для этого промежутка выколотая, но она входит в график за счет первого промежутка. Точка $(1, 4)$ закрашенная.
3. На промежутке $(1, 3)$ строим график функции $y = 4$. Это отрезок горизонтальной прямой. Границами служат точки $(1, 4)$ и $(3, 4)$. Точка $(1, 4)$ для этого промежутка выколотая, но она входит в график за счет второго промежутка. Точка $(3, 4)$ выколотая, так как $x=3$ не принадлежит области определения.
В результате все три части графика соединяются в точках $(0,0)$ и $(1,4)$, образуя непрерывную линию.
Ответ: Для построения графика необходимо начертить на координатной плоскости часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 0]$, отрезок прямой $y=4x$ на полуинтервале $(0, 1]$ и отрезок горизонтальной прямой $y=4$ на интервале $(1, 3)$.

Основные свойства функции, определенные по построенному графику:
1. Область определения: $D(f) = [-2, 3)$.
2. Область значений: $E(f) = [0, 4]$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ для всех $x \in [-2, 0) \cup (0, 3)$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $[-2, 0]$; возрастает на промежутке $[0, 1]$; постоянна на промежутке $[1, 3)$.
6. Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшее значение $f_{max} = 4$ достигается при $x=-2$ и на всем промежутке $[1, 3)$; наименьшее значение $f_{min} = 0$ достигается при $x=0$.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $[-2, 3)$.
Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, четность/нечетность, экстремумы, непрерывность) описаны в пунктах 1-8.

46.41 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \left\{ \begin{aligned} -1, & \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ -x^2, & \text{ если } -1 < x \le 1; \\ x, & \text{ если } 1 < x \le 6. \end{aligned} \right.$

а) Вычислите $f(-2)$, $f(4)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(5)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Вычислите $f(-2)$, $f(4)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(5)$

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -2$: значение $-2$ попадает в промежуток $-3 \le x \le -1$. На этом промежутке $f(x) = -1$.
  Следовательно, $f(-2) = -1$.

• Для $x = 4$: значение $4$ попадает в промежуток $1 < x \le 6$. На этом промежутке $f(x) = x$.
  Следовательно, $f(4) = 4$.

• Для $x = -1$: значение $-1$ попадает в промежуток $-3 \le x \le -1$ (так как неравенство нестрогое). На этом промежутке $f(x) = -1$.
  Следовательно, $f(-1) = -1$.

• Для $x = 1$: значение $1$ попадает в промежуток $-1 < x \le 1$. На этом промежутке $f(x) = -x^2$.
  Следовательно, $f(1) = -(1)^2 = -1$.

• Для $x = 5$: значение $5$ попадает в промежуток $1 < x \le 6$. На этом промежутке $f(x) = x$.
  Следовательно, $f(5) = 5$.

Ответ: $f(-2) = -1$; $f(4) = 4$; $f(-1) = -1$; $f(1) = -1$; $f(5) = 5$.

б) постройте график функции y = f(x)

График функции $y=f(x)$ является кусочным и состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале:

1. На отрезке $[-3, -1]$ функция имеет вид $y = -1$. Это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-3, -1)$ и $(-1, -1)$. Обе точки включены.

2. На полуинтервале $(-1, 1]$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. В точке $x=-1$ значение функции равно $-(-1)^2 = -1$, что совпадает со значением на предыдущем участке, поэтому в этой точке разрыва нет. В точке $x=1$ значение $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику.

3. На полуинтервале $(1, 6]$ функция имеет вид $y = x$. Это отрезок прямой, проходящей через начало координат под углом 45 градусов. В точке $x=1$ значение $y=1$, эта точка не принадлежит графику (изображается выколотой). В точке $x=6$ значение $y=6$, эта точка принадлежит графику.

Ниже представлен график функции $y=f(x)$:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в) опишите свойства функции y = f(x) с помощью построенного графика.

На основе построенного графика перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:

• Область определения функции $D(f)$ (множество всех допустимых значений $x$): $D(f) = [-3, 6]$.

• Область значений функции $E(f)$ (множество всех принимаемых значений $y$): $E(f) = [-1, 0] \cup (1, 6]$.

• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=1$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

• Нули функции (точки, в которых $f(x)=0$): $f(x)=0$ при $x=0$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (1, 6]$;
  $f(x) < 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 1]$.

• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на промежутках $x \in (-1, 0]$ и $x \in (1, 6]$;
  Функция убывает на промежутке $x \in (0, 1]$;
  Функция постоянна на промежутке $x \in [-3, -1]$.

• Экстремумы функции:
  Точка локального максимума: $x=0$, $f(0)=0$.
  Наибольшее значение функции на области определения: $f_{max} = f(6) = 6$.
  Наименьшее значение функции на области определения: $f_{min} = -1$, достигается при $x \in [-3, -1]$ и при $x=1$.

• Четность: область определения $D(f)=[-3, 6]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Ответ: Свойства функции, определенные по ее графику, описаны выше.

46.42 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2; \\ 2x + 2, & \text{если } 2 < x < 4. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3)$, $f(2)$, $f(0)$, $f(-1)$, $f(\frac{1}{2})$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Вычислите f(-3), f(2), f(0), f(-1), f($\frac{1}{2}$);

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -3$: это значение принадлежит промежутку $[-3; -1]$. На этом промежутке $f(x) = 1$.
  Следовательно, $f(-3) = 1$.

• Для $x = 2$: это значение принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(2) = 2^2 = 4$.

• Для $x = 0$: это значение принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(0) = 0^2 = 0$.

• Для $x = -1$: это значение принадлежит промежутку $[-3; -1]$. На этом промежутке $f(x) = 1$.
  Следовательно, $f(-1) = 1$.

• Для $x = \frac{1}{2}$: это значение (0,5) принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $f(-3) = 1$; $f(2) = 4$; $f(0) = 0$; $f(-1) = 1$; $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $[-3; -1]$ график функции $y = 1$ — это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-3; 1)$ и $(-1; 1)$. Обе точки включены.

2. На промежутке $(-1; 2]$ график функции $y = x^2$ — это часть параболы с вершиной в точке $(0; 0)$. График проходит через точку $(-1; 1)$ (которая соединяется с предыдущим участком) и заканчивается в точке $(2; 4)$. Точка $(2; 4)$ включена.

3. На промежутке $(2; 4)$ график функции $y = 2x + 2$ — это отрезок прямой. В точке $x=2$ значение функции было бы $y = 2 \cdot 2 + 2 = 6$. В точке $x=4$ значение было бы $y = 2 \cdot 4 + 2 = 10$. Таким образом, это отрезок прямой, соединяющий точки $(2; 6)$ и $(4; 10)$. Обе точки выколоты, так как неравенства строгие.

График функции изображен ниже:

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) опишите свойства функции y = f(x) с помощью построенного графика.

• 1. Область определения функции: $D(f) = [-3; 4)$.

• 2. Область (множество) значений функции: $E(f) = [0; 4] \cup (6; 10)$.

• 3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.

• 4. Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in [-3; 0) \cup (0; 4)$.
  Нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

• 5. Промежутки монотонности:
  - функция постоянна на отрезке $[-3; -1]$;
  - функция убывает на отрезке $[-1; 0]$;
  - функция возрастает на отрезке $[0; 2]$ и на интервале $(2; 4)$.

• 6. Экстремумы функции:
  - Точка минимума: $x_{min} = 0$. Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(0) = 0$.
  - Точки локального максимума: все точки $x \in [-3; -1]$. Локальный максимум равен 1.
  - Наибольшего значения функция не достигает.

• 7. Четность, нечетность: Область определения функции не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

• 8. Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $[-3; 2]$ и $(2; 4)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции перечислены в списке выше.

46.43 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x \le -2; \\ x^2, \text{ если } -2 < x \le 3, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ при различных значениях параметра $b$. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения $f(x)=b$.

Проанализируем и построим график функции $f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ график функции совпадает с графиком прямой $y=x+6$. Это луч, который проходит через точку $(-2, -2+6) = (-2, 4)$ и уходит влево и вниз. Область значений функции на этом участке: $(-\infty, 4]$.

2. На промежутке $(-2, 3]$ график функции совпадает с графиком параболы $y=x^2$. Это дуга параболы с вершиной в точке $(0,0)$. На концах интервала имеем: при $x \to -2^+$ значение $y \to (-2)^2=4$ (эта точка выколота для данной части), а при $x=3$ значение $y=3^2=9$ (эта точка включена). Область значений функции на этом участке: $[0, 9]$.

Общая область значений функции $f(x)$ — это объединение областей значений ее частей: $(-\infty, 4] \cup [0, 9] = (-\infty, 9]$. Максимальное значение функции равно 9.

Теперь рассмотрим, сколько корней имеет уравнение $f(x)=b$ в зависимости от $b$, анализируя пересечения прямой $y=b$ с построенным графиком.

а) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Если $b < 0$. В этом случае прямая $y=b$ пересекает только луч $y=x+6$ (так как $x^2 \ge 0$). Уравнение $x+6=b$ имеет единственный корень $x=b-6$, который удовлетворяет условию $x \le -2$.
2. Если $b > 4$ и $b \le 9$, то есть $b \in (4, 9]$. При $b=9$ прямая касается графика в его наивысшей точке $(3, 9)$, корень один: $x=3$. При $4 < b < 9$ прямая пересекает только правую ветвь параболы $y=x^2$ в точке $x = \sqrt{b}$ (так как $2 < \sqrt{b} < 3$, что входит в интервал $(-2, 3]$). Луч $y=x+6$ не пересекается, так как его значения не превышают 4.
Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (-\infty, 0) \cup (4, 9]$.
Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup (4, 9]$.

б) имеет два корня;

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график в двух точках.
1. При $b=4$. Прямая $y=4$ пересекает график в точке $x=-2$ (из части $y=x+6$) и в точке $x=2$ (из части $y=x^2$, так как $x^2=4 \implies x=2$ или $x=-2$; $x=2$ подходит, $x=-2$ не входит в интервал $(-2, 3]$). Итого два корня.
2. При $b=0$. Прямая $y=0$ пересекает параболу в ее вершине $x=0$ и пересекает луч $y=x+6$ при $x=-6$. Итого два корня.
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b=0$ и $b=4$.
Ответ: $b \in \{0, 4\}$.

в) имеет три корня;

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график в трех точках. Это возможно только при $0 < b < 4$.
В этом случае прямая $y=b$ пересекает:
1. Луч $y=x+6$ в одной точке $x=b-6$ (условие $x \le -2$ выполнено).
2. Параболу $y=x^2$ в двух точках $x=\sqrt{b}$ и $x=-\sqrt{b}$ (так как $0 < b < 4$, то $0 < \sqrt{b} < 2$ и $-2 < -\sqrt{b} < 0$, оба значения попадают в интервал $(-2, 3]$).
Всего получается три корня.
Ответ: $b \in (0, 4)$.

г) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=b$ не имеет общих точек с графиком $y=f(x)$. Это происходит, когда значение $b$ больше максимального значения функции. Максимальное значение функции $f(x)$ равно 9. Следовательно, при $b>9$ корней нет.
Ответ: $b \in (9, +\infty)$.