Страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Используя заданный график функции, установите:

1) какова область определения функции $y = f(x)$;

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках

она претерпевает разрыв;

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

5) где функция возрастает, где убывает.

Ответьте на эти вопросы для функции, график которой изобра-

жён:

46.31

a) На рис. 53;

б) на рис. 54;

в) на рис. 55;

г) на рис. 56.

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

1) какова область определения функции y = f(x);
Область определения функции — это проекция ее графика на ось абсцисс (Ox). Так как график функции простирается неограниченно влево и вправо по оси Ox, область определения включает в себя все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика. Для данной функции это вершина, точка с координатами $(0, -1)$. Наибольшего значения не существует, так как ветви графика уходят вверх в бесконечность.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
Функция является непрерывной, так как ее график можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. На графике нет точек разрыва.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- Значение функции равно нулю ($f(x) = 0$) в точках пересечения графика с осью Ox. Это происходит при $x = -1$ и $x = 1$.
- Значение функции больше нуля ($f(x) > 0$), когда график расположен выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.
- Значение функции меньше нуля ($f(x) < 0$), когда график расположен ниже оси Ox. Это происходит на промежутке $(-1; 1)$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = -1, x = 1$; $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 1)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- Функция убывает на промежутке, где график при движении слева направо идет вниз. Это происходит от $-\infty$ до $0$.
- Функция возрастает на промежутке, где график при движении слева направо идет вверх. Это происходит от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции простирается неограниченно влево и вправо, следовательно, функция определена для всех действительных значений аргумента $x$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наибольшее значение функции равно 2, оно достигается при всех $x \geq 1$. Наименьшего значения не существует, так как левая ветвь графика уходит вниз в бесконечность.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции является сплошной линией, его можно нарисовать не отрывая руки. Следовательно, функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- $f(x) = 0$ в точке пересечения с осью Ox, то есть при $x = 0$.
- $f(x) > 0$ там, где график выше оси Ox, то есть при $x > 0$.
- $f(x) < 0$ там, где график ниже оси Ox, то есть при $x < 0$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$. На промежутке $[1; +\infty)$ функция является постоянной.
- Промежутков убывания у функции нет.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, промежутков убывания нет.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции простирается неограниченно влево и вправо, значит, область определения — все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наибольшее значение функции равно 2 и достигается при всех $x \leq -1$. Наименьшего значения не существует, так как правая ветвь графика уходит вниз в бесконечность.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции — сплошная линия без разрывов, следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- $f(x) = 0$ в точке пересечения с осью Ox, то есть при $x = 0$.
- $f(x) > 0$ при $x < 0$.
- $f(x) < 0$ при $x > 0$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- На промежутке $(-\infty; -1]$ функция постоянна. Функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.
- Промежутков возрастания у функции нет.
Ответ: функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции определен для всех значений $x$ от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наименьшее значение функции равно 2, оно достигается при всех $x \leq 2$. Наибольшего значения не существует, так как правая ветвь графика уходит вверх в бесконечность.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции является сплошной линией, значит, функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- График функции не пересекает ось Ox, значит, нулей у функции нет. - Весь график расположен выше оси Ox, причём наименьшее значение равно 2. Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$. - Нет таких значений $x$, при которых $f(x) < 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $f(x) = 0$ или $f(x) < 0$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- На промежутке $(-\infty; 2]$ функция постоянна. Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
- Промежутков убывания у функции нет.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, промежутков убывания нет.

46.32 а) На рис. 57; б) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.

Рис. 57

$y$, $x$, O, 1, 4, -4

Рис. 58

$y$, $x$, O, -1, 1, 2, 4

Рис. 59

$y$, $x$, O, -1, 1, 2, -4

Рис. 60

$y$, $x$, O, -2, 1, 5

а) Для функции, изображенной на рис. 57, найдем область определения и область значений.

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он непрерывно простирается влево (к $-\infty$) и вправо (к $+\infty$). На графике нет выколотых точек или вертикальных асимптот, ограничивающих значения $x$. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике видно, что максимальное значение функция достигает в точке $(0, 0)$, то есть $y_{max} = 0$. Обе ветви графика уходят вниз, в сторону $-\infty$. Таким образом, функция принимает все значения от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty; 0]$.

б) Для функции, изображенной на рис. 58, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): На графике в точке $x = -1$ находится выколотая точка, что означает, что функция в этой точке не определена. График начинается сразу после $x = -1$ и простирается вправо до $+\infty$. Таким образом, область определения — это все числа, строго большие $-1$.

Область значений ($E(f)$): Найдем минимальное и максимальное значения функции. Минимальное значение достигается в вершине параболического участка, в точке $(0, 0)$, то есть $y_{min} = 0$. При $x$, стремящемся к $-1$ справа, значения $y$ стремятся к $1$ (но не достигают его в этой точке). Участок от $x=-1$ до $x=2$ покрывает значения $y$ от $0$ до $4$. При $x \ge 2$ функция постоянна и равна $y=4$. Таким образом, функция принимает все значения от $0$ включительно до $4$ включительно.

Ответ: Область определения $D(f) = (-1; +\infty)$. Область значений $E(f) = [0; 4]$.

в) Для функции, изображенной на рис. 59, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): График функции существует на отрезке от $x = -4$ до $x = 2$. Точка при $x = -4$ закрашена, значит, это значение входит в область определения. Точка при $x = 2$ также закрашена. На промежутке $(-4, 2)$ разрывов нет (в точке $x=-1$ значение функции определено и равно $-2$, так как точка $(-1, -2)$ закрашена). Следовательно, область определения — это отрезок $[-4, 2]$.

Область значений ($E(f)$): Определим наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. Наименьшее значение достигается в точке $(2, -4)$, следовательно, $y_{min} = -4$. Наибольшее значение достигается в точке $(0, 0)$, то есть $y_{max} = 0$. На отрезке $[-4, -1]$ функция принимает значение $y=-2$. На интервале $(-1, 2]$ функция принимает значения из отрезка $[-4, 0)$. Объединяя все возможные значения $y$, получаем, что область значений — это отрезок от $-4$ до $0$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4; 2]$. Область значений $E(f) = [-4; 0]$.

г) Для функции, изображенной на рис. 60, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): График функции определен для $x$ от $-2$ до $5$. Точка при $x = -2$ выколота, значит, это значение не входит в область определения. Точка при $x = 5$ также выколота. В точке $x=1$ функция определена. Таким образом, область определения — это интервал $(-2, 5)$.

Область значений ($E(f)$): Найдем множество всех значений $y$. Минимальное значение достигается в точке $(0, 0)$, то есть $y_{min} = 0$. Рассмотрим поведение функции на краях области определения. При $x$, стремящемся к $-2$ справа, $y$ стремится к $4$. При $x$, стремящемся к $5$ слева, $y$ стремится к $5$. Левый участок графика ($x \in (-2, 1]$) покрывает значения $y \in [0, 4)$. Правый участок графика ($x \in [1, 5)$) покрывает значения $y \in [1, 5)$. Объединяя эти два множества значений $[0, 4) \cup [1, 5)$, получаем итоговый полуинтервал $[0, 5)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-2; 5)$. Область значений $E(f) = [0; 5)$.

46.33 а) На рис. 61;

б) на рис. 62;

в) на рис. 63;

г) на рис. 64.

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 61. График состоит из трех частей: ветви параболы для $x \le 0$, отрезка прямой для $0 < x \le 2$ и луча для $x > 2$.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Функция принимает все значения от 0 включительно и выше, то есть $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции. График пересекает ось абсцисс в точке $x=0$, следовательно, $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=0$. То есть $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 2]$.
• Функция является постоянной на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = 0$ (достигается при $x=0$).
• Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le 0 \\ x, & \text{при } 0 < x \le 2 \\ 2, & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 62. График состоит из двух отрезков: горизонтального и наклонного.

1. Область определения. Функция определена на отрезке от -4 до 2. $D(f) = [-4; 2]$.

2. Область значений. Функция принимает значения от -2 до 4 включительно. $E(f) = [-2; 4]$.

3. Нули функции. График пересекает ось абсцисс в одной точке. Найдем ее: на промежутке $(-2; 2]$ функция задается формулой, которую можно найти по двум точкам $(-2; -2)$ и $(2; 4)$, это $y = \frac{3}{2}x + 1$. Решим уравнение $\frac{3}{2}x + 1 = 0$, откуда $x = -2/3$. Таким образом, $f(x)=0$ при $x = -2/3$.

4. Промежутки знакопостоянства:
• $f(x) > 0$ при $x \in (-2/3; 2]$.
• $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -2/3)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция является постоянной на промежутке $[-4; -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$, достигается на всем промежутке $x \in [-4; -2]$.
• Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$, достигается при $x=2$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -2, & \text{при } -4 \le x \le -2 \\ \frac{3}{2}x + 1, & \text{при } -2 < x \le 2 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 63. График состоит из двух отрезков и горизонтального луча.

1. Область определения. Функция определена для всех $x \ge -4$. $D(f) = [-4; +\infty)$.

2. Область значений. Функция принимает значения от 0 до 4 включительно. $E(f) = [0; 4]$.

3. Нули функции. График касается оси абсцисс в точке $x=0$. $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция неотрицательна на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \in [-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция убывает на промежутке $[-4; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 1]$.
• Функция является постоянной на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции (глобальный минимум) $y_{min} = 0$, достигается при $x=0$.
• Наибольшее значение функции (глобальный максимум) $y_{max} = 4$, достигается при $x=-4$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{при } -4 \le x \le 0 \\ 3x, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 3, & \text{при } x > 1 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 64. График состоит из отрезка, части параболы и отрезка прямой, причем концы области определения не включены.

1. Область определения. Функция определена на интервале от -5 до 2. $D(f) = (-5; 2)$.

2. Область значений. Функция принимает значения от 0 включительно до 4 не включительно. $E(f) = [0; 4)$.

3. Нули функции. График касается оси абсцисс в точке $x=0$. $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция неотрицательна на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \in (-5; 0) \cup (0; 2)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция является постоянной на промежутке $(-5; -1]$.
• Функция убывает на промежутке $[-1; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 2)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции (глобальный минимум) $y_{min} = 0$, достигается при $x=0$.
• Наибольшего значения у функции нет. Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна 4, но это значение не достигается.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{при } -5 < x \le -1 \\ -3x, & \text{при } -1 < x \le 0 \\ x^2, & \text{при } 0 < x < 2 \end{cases}$.

46.34 а) На рис. 65; б) на рис. 66; в) на рис. 67; г) на рис. 68.

$y$, $-1$, $O$, $1$, $x$

$y$, $-4$, $-1$, $O$, $1$, $1$, $2$, $4$, $x$

$y$, $-2$, $O$, $1$, $1$, $3$, $4$, $x$

$y$, $-1$, $1$, $4$, $-1$, $O$, $2$, $x$

а) На рис. 65

Данный график является кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей, с точкой "склейки" при $x=1$.

1. При $x \le 1$ график представляет собой часть параболы. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины $(1, 0)$, получаем $y = a(x-1)^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на этой части графика, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = a(0-1)^2$, что дает $1 = a \cdot 1$, то есть $a=1$. Таким образом, для $x \le 1$ функция задается формулой $y = (x-1)^2$.

2. При $x > 1$ график представляет собой луч. Этот луч начинается в точке $(1, 0)$ и проходит, например, через точку $(2, 1)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент (наклон) прямой равен $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1-0}{2-1} = 1$. Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y - y_1 = m(x-x_1)$ и точку $(1, 0)$, получаем: $y - 0 = 1(x-1)$, откуда $y = x-1$.

Объединяя эти две части, мы получаем аналитическое выражение для всей функции.

Ответ: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x \le 1 \\ x-1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) На рис. 66

График состоит из трех различных частей, определенных на разных интервалах.

1. На интервале $-4 < x < -1$ график является отрезком прямой линии. Он соединяет выколотую (пустую) точку $(-4, 4)$ и точку $(-1, 1)$, которая, судя по всему, относится к следующему участку. Угловой коэффициент этой прямой: $m = \frac{4-1}{-4-(-1)} = \frac{3}{-3} = -1$. Уравнение прямой можно найти, используя точку $(-1, 1)$: $y - 1 = -1(x - (-1))$, что упрощается до $y - 1 = -x - 1$, или $y = -x$. Итак, для $-4 < x < -1$ имеем $y = -x$.

2. На полуинтервале $-1 \le x < 1$ график представляет собой часть параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Это соответствует стандартной параболе $y=x^2$. В точке $x=-1$ имеем $y = (-1)^2 = 1$, что соответствует сплошной точке $(-1, 1)$, соединяющей этот участок с предыдущим. В точке $x=1$ имеем $y=1^2=1$, что соответствует выколотой точке $(1, 1)$.

3. При $x \ge 1$ график также является частью параболы. Он начинается со сплошной точки $(1, 2)$ и проходит через точку $(2, 5)$. Эта кривая выглядит как парабола $y=x^2$, смещенная вверх. Проверим гипотезу, что это $y=x^2+c$. Подставим точку $(1, 2)$: $2 = 1^2+c \Rightarrow c=1$. Таким образом, формула для этой части $y=x^2+1$. Проверим точку $(2, 5)$: $y = 2^2+1 = 5$. Это совпадает с графиком.

Собирая все три части вместе, получаем окончательную формулу.

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } -4 < x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

в) На рис. 67

График представляет собой функцию модуля $y = k|x|$, поскольку он симметричен относительно оси $y$ и состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.

Чтобы найти коэффициент $k$, возьмем любую точку на правой ветви, например, $(1, 3)$. Для $x > 0$, $|x| = x$, поэтому $y = kx$. Подставляя координаты точки, получаем $3 = k \cdot 1$, откуда $k=3$. Таким образом, уравнение функции — $y=3|x|$.

На графике в точке $(1, 3)$ показан пустой кружок (выколотая точка). Это означает, что точка $x=1$ не входит в область определения функции.

Таким образом, функция задается формулой $y=3|x|$, но с ограничением $x \neq 1$. Это можно записать в виде кусочно-заданной функции, раскрыв модуль.

Ответ: $y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0 \\ 3x, & \text{если } x \in (0, 1) \cup (1, \infty) \end{cases}$

г) На рис. 68

График представляет собой параболу.

1. Найдем уравнение параболы. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$. Следовательно, ее уравнение имеет вид $y=ax^2-1$. Для определения коэффициента $a$ воспользуемся другой точкой на кривой, например, $(1, 0)$. Подставляем ее в уравнение: $0 = a(1)^2 - 1$, откуда $a=1$. Итак, уравнение параболы — $y=x^2-1$.

2. На графике есть две выколотые точки, означающие, что функция в соответствующих значениях $x$ не определена. Одна выколотая точка находится при $x=-1$, другая — при $x=2$. Это означает, что область определения функции исключает значения $x=-1$ и $x=2$.

(Примечание: на рисунке выколотые точки показаны в положениях $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Эти точки не лежат на параболе $y=x^2-1$, где при $x=-1$ $y=0$, а при $x=2$ $y=3$. Вероятнее всего, это неточность на чертеже, и имелось в виду, что из графика функции $y=x^2-1$ исключены точки, которые ей принадлежат, то есть $(-1, 0)$ и $(2, 3)$.)

Исходя из наиболее вероятной интерпретации, функция задана формулой $y=x^2-1$ с ограничениями на область определения.

Ответ: $y = x^2 - 1, \text{ при } x \neq -1 \text{ и } x \neq 2$