Страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Известно, что $f(x) = 2x + 3$. Найдите:

а) $f(2x)$;

б) $f(2x + 3)$.

Дана функция $f(x) = 2x + 3$.

а) Чтобы найти $f(2x)$, необходимо в исходное выражение для функции $f(x)$ подставить $2x$ вместо каждого вхождения $x$.

Исходная функция: $f(x) = 2x + 3$.

Подставляем $2x$ вместо $x$:

$f(2x) = 2(2x) + 3$

Упрощаем полученное выражение, умножая 2 на 2x:

$f(2x) = 4x + 3$

Ответ: $4x + 3$

б) Чтобы найти $f(2x + 3)$, необходимо в исходное выражение для функции $f(x)$ подставить $(2x + 3)$ вместо каждого вхождения $x$.

Исходная функция: $f(x) = 2x + 3$.

Подставляем $(2x + 3)$ вместо $x$:

$f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3$

Теперь раскроем скобки, умножив 2 на каждый член в скобках:

$2 \cdot 2x + 2 \cdot 3 + 3 = 4x + 6 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4x + (6 + 3) = 4x + 9$

Таким образом, $f(2x + 3) = 4x + 9$.

Ответ: $4x + 9$

2. Известно, что $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(2x)$;

б) $f(2x + 3)$;

в) $f(-x)$;

г) $f(x^6)$.

а) Чтобы найти $f(2x)$, необходимо подставить выражение $2x$ в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$. Это означает, что везде, где в формуле функции стоит $x$, мы должны подставить $2x$.
$f(2x) = (2x)^2$
При возведении произведения в степень, мы возводим в эту степень каждый множитель:
$(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$.
Ответ: $4x^2$.

б) Чтобы найти $f(2x + 3)$, необходимо подставить выражение $2x + 3$ в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$.
$f(2x + 3) = (2x + 3)^2$.
Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 2x$, а $b = 3$.
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Ответ: $4x^2 + 12x + 9$.

в) Чтобы найти $f(-x)$, необходимо подставить выражение $-x$ в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$.
$f(-x) = (-x)^2$.
Квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, так как $(-1)^2 = 1$:
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.
Ответ: $x^2$.

г) Чтобы найти $f(x^6)$, необходимо подставить выражение $x^6$ в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$.
$f(x^6) = (x^6)^2$.
При возведении степени в степень, основание остается тем же, а показатели перемножаются, согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$.
Ответ: $x^{12}$.

3. Известно, что $f(x) = -x^2$. Найдите:

а) $f(0,5x)$;

б) $f(x - 3)$;

в) $f(-2x)$;

г) $f(-x^3)$.

Дана функция $f(x) = -x^2$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент вместо $x$ в формулу функции.

а) Чтобы найти $f(0,5x)$, подставим $0,5x$ вместо $x$:

$f(0,5x) = -(0,5x)^2 = -(0,5^2 \cdot x^2) = -(0,25x^2) = -0,25x^2$.

Ответ: $-0,25x^2$.

б) Чтобы найти $f(x-3)$, подставим $x-3$ вместо $x$:

$f(x-3) = -(x-3)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$f(x-3) = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = -(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$.

Ответ: $-x^2 + 6x - 9$.

в) Чтобы найти $f(-2x)$, подставим $-2x$ вместо $x$:

$f(-2x) = -(-2x)^2 = -((-2)^2 \cdot x^2) = -(4x^2) = -4x^2$.

Ответ: $-4x^2$.

г) Чтобы найти $f(-x^3)$, подставим $-x^3$ вместо $x$:

$f(-x^3) = -(-x^3)^2$.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$f(-x^3) = -((-1)^2 \cdot (x^3)^2) = -(1 \cdot x^{3 \cdot 2}) = -x^6$.

Ответ: $-x^6$.

4. Как вы понимаете, что такое кусочная функция?

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами или правилами для разных частей (интервалов) своей области определения. Иными словами, вместо одной-единственной формулы, действующей для всех возможных значений аргумента x, у нас есть "набор" формул, и каждая из них работает только на своем, заранее указанном, участке числовой оси. Можно представить себе такую функцию как мозаику или лоскутное одеяло, сшитое из "кусочков" графиков других, более простых функций.

Общий вид задания кусочной функции выглядит так:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } 1 \\ f_2(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } 2 \\ \dots \\ f_n(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } n \end{cases}$

Здесь $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ — это различные функции (например, линейные, квадратичные, тригонометрические и т.д.), а интервалы, на которых они определены, вместе составляют всю область определения функции $f(x)$.

Пример:
Рассмотрим функцию $y = f(x)$, заданную следующим образом:
$f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \\ 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Как "читать" такую запись:

• Если значение аргумента $x$ меньше или равно $-1$ (например, $x=-3$, $x=-1$), то для вычисления значения функции мы используем первую формулу: $y = -x - 2$.
• Если $x$ находится в интервале от $-1$ (не включая) до $2$ (включая) (например, $x=0$, $x=1.5$, $x=2$), то мы используем вторую формулу: $y = x^2$.
• Если $x$ строго больше $2$ (например, $x=3$, $x=10$), мы используем третью формулу, которая говорит, что значение функции всегда равно $4$: $y = 4$.

Построение графика:

Чтобы построить график такой функции, нужно построить график каждой "части" на ее собственном интервале:

1. Строим график функции $y = -x - 2$ (это прямая) и оставляем только ту его часть, которая соответствует $x \le -1$.
2. Строим график функции $y = x^2$ (это парабола) и оставляем от него только дугу, соответствующую $-1 < x \le 2$.
3. Строим график функции $y = 4$ (это горизонтальная прямая) и берем только ту его часть, где $x > 2$.

Важно обратить внимание на "стыки" — точки, где одна формула сменяет другую (в нашем примере это $x=-1$ и $x=2$). В этих точках функция может быть непрерывной (график не прерывается) или иметь разрыв (график "прыгает").

• При $x=-1$: первая формула дает $y = -(-1) - 2 = -1$. Вторая формула в этой точке не определена, но стремится к $(-1)^2 = 1$. Так как $-1 \ne 1$, в точке $x=-1$ будет разрыв. Точка $(-1, -1)$ будет принадлежать графику (изображается закрашенным кружком), а точка $(-1, 1)$ — нет (изображается выколотым, или пустым, кружком).
• При $x=2$: вторая формула дает $y = 2^2 = 4$. Третья формула при $x>2$ также равна $4$. Так как значения совпадают, в точке $x=2$ разрыва не будет, и график будет непрерывным.

Самыми известными примерами кусочных функций являются:

• Модуль (абсолютная величина): $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
• Функция знака (сигнум): $y = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, кусочная функция — это гибкий математический инструмент для описания процессов и явлений, поведение которых меняется в зависимости от условий.

Ответ: Кусочная функция — это единая функция, которая задается не одной, а несколькими различными формулами, каждая из которых применяется к своему определенному участку (интервалу) области определения. График такой функции "сшивается" из кусков графиков тех функций, из которых она состоит. В точках "стыка" этих интервалов функция может быть как непрерывной, если значения "кусочных" функций совпадают, так и иметь разрыв.

5. Приведите пример кусочной функции $y = f(x)$, в котором задание вычислить $f(17)$ является некорректным.

Кусочной функцией называется функция, которая задана разными формулами на разных промежутках (кусках) своей области определения. Задание "вычислить $f(17)$" будет являться некорректным в том случае, если точка $x=17$ не входит в область определения функции $f(x)$.

Для построения примера необходимо задать функцию таким образом, чтобы она была определена для чисел, например, строго меньших $17$ и строго больших $17$, но не была определена в самой точке $x=17$.

Рассмотрим следующую функцию:$$f(x) =\begin{cases}x + 3, & \text{если } x < 17 \\x - 3, & \text{если } x > 17\end{cases}$$

Область определения этой функции $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $17$. Это можно записать в виде объединения интервалов: $D(f) = (-\infty; 17) \cup (17; +\infty)$.

Поскольку значение $x=17$ не принадлежит области определения функции (так как ни условие $x<17$, ни условие $x>17$ не выполняются для $x=17$), вычислить значение $f(17)$ невозможно. Таким образом, задание вычислить $f(17)$ для данной функции является некорректным.

Ответ:Примером кусочной функции, для которой задание вычислить $f(17)$ является некорректным, может служить:$$f(x) =\begin{cases}x + 3, & \text{если } x < 17 \\x - 3, & \text{если } x > 17\end{cases}$$

6. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и луча графика линейной функции. Задайте её аналитически (с помощью формул).

Для построения требуемой кусочной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать квадратичную функцию (параболу) и линейную функцию (прямую).
2. Определить точку, в которой график параболы будет переходить в график прямой (так называемую "точку стыковки").
3. Задать области определения (интервалы) для каждой из функций так, чтобы одна из них была частью параболы, а другая — лучом.
4. Записать итоговую функцию в аналитическом виде.

Шаг 1. Выбор функций

Возьмем простые функции для наглядности:

• Квадратичная функция (парабола): $y = x^2$.
• Линейная функция (прямая): $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ мы определим позже.

Шаг 2. Определение точки стыковки

Пусть график переходит из параболы в прямую в точке, где абсцисса $x = 1$. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x$ в уравнение параболы:

$y = 1^2 = 1$

Таким образом, точка стыковки — $(1, 1)$. Чтобы график был непрерывным (без разрывов), луч линейной функции должен начинаться из этой же точки.

Это означает, что наша линейная функция $y = kx + b$ также должна проходить через точку $(1, 1)$. Подставим координаты точки в уравнение прямой:

$1 = k \cdot 1 + b$ или $1 = k + b$.

Мы можем выбрать любое значение для коэффициента наклона $k$. Например, пусть $k = -2$. Тогда найдем $b$:

$1 = -2 + b \implies b = 3$.

Итак, наша линейная функция — это $y = -2x + 3$.

Шаг 3. Задание областей определения

Мы решили, что "стыковка" происходит при $x = 1$. Давайте определим, что до этой точки (включая ее) график будет частью параболы, а после — лучом прямой.

• Часть параболы: $y = x^2$ при $x \le 1$.
• Луч прямой: $y = -2x + 3$ при $x > 1$.

Шаг 4. Аналитическая запись функции

Теперь мы можем записать итоговую кусочную функцию, используя системную скобку.

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2x + 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График этой функции будет представлять собой ветвь параболы $y=x^2$, идущую из $-\infty$ до точки $(1, 1)$, где она плавно переходит в луч прямой $y=-2x+3$, уходящий в $+\infty$ (при этом убывая).

Ответ:

Пример искомой кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2x + 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

7. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и двух отрезков графиков разных линейных функций. Задайте её аналитически.

Чтобы придумать и задать аналитически кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и двух отрезков графиков разных линейных функций, необходимо последовательно определить каждую из трёх частей и интервалы, на которых они заданы.

1. Выбор части параболы

В качестве основы возьмём параболу $y = x^2$. Определим её на отрезке, например, от $x = -2$ до $x = 2$. Найдём координаты крайних точек этого участка графика, которые будут служить точками "стыковки" с отрезками прямых:
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка стыковки $A(-2, 4)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка стыковки $B(2, 4)$.
Таким образом, центральная часть нашей функции: $y = x^2$ при $-2 \le x \le 2$.

2. Выбор первого отрезка линейной функции

Первый отрезок должен соединяться с графиком параболы в точке $A(-2, 4)$. Зададим его на интервале слева, например, на отрезке $[-4, -2]$.
Для нахождения уравнения линейной функции $y = k_1x + b_1$ нам нужна вторая точка. Возьмем, к примеру, точку $C(-4, 0)$.
Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2, 4)$ и $C(-4, 0)$:
Угловой коэффициент: $k_1 = \frac{4 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{4}{2} = 2$.
Подставим координаты точки A в уравнение $y = 2x + b_1$ для нахождения $b_1$:
$4 = 2(-2) + b_1 \Rightarrow 4 = -4 + b_1 \Rightarrow b_1 = 8$.
Итак, первая линейная функция: $y = 2x + 8$. Она будет определена на отрезке $[-4, -2]$.

3. Выбор второго отрезка линейной функции

Второй отрезок должен соединяться с графиком параболы в точке $B(2, 4)$ и быть частью графика другой линейной функции. Зададим его на интервале справа, например, на отрезке $[2, 5]$.
Возьмём вторую точку для этого отрезка, например, $D(5, 1)$.
Найдём уравнение прямой $y = k_2x + b_2$, проходящей через точки $B(2, 4)$ и $D(5, 1)$:
Угловой коэффициент: $k_2 = \frac{4 - 1}{2 - 5} = \frac{3}{-3} = -1$.
Угловой коэффициент $k_2 = -1$ не равен $k_1 = 2$, значит, линейные функции различны, что соответствует условию.
Подставим координаты точки B в уравнение $y = -x + b_2$ для нахождения $b_2$:
$4 = -1(2) + b_2 \Rightarrow 4 = -2 + b_2 \Rightarrow b_2 = 6$.
Итак, вторая линейная функция: $y = -x + 6$. Она будет определена на отрезке $[2, 5]$.

4. Аналитическая запись итоговой функции

Объединим все три части в одну кусочную функцию. Чтобы функция была непрерывной, можно определить её следующим образом, используя строгие и нестрогие неравенства в точках стыка. Итоговая функция $f(x)$ будет выглядеть так:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } -4 \le x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ -x + 6, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$
Данная функция определена на отрезке $[-4, 5]$. Её график состоит из отрезка прямой $y=2x+8$, части параболы $y=x^2$ и отрезка прямой $y=-x+6$. Линейные функции различны. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ:
Один из возможных вариантов искомой функции, заданной аналитически:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } -4 \le x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ -x + 6, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$

8. Приведите пример функции, которая претерпевает разрыв при $x = 1$.

Функция является непрерывной в точке $x=a$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует конечный предел функции в точке $a$: $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Значение функции в этой точке равно ее пределу: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x=a$. Приведем несколько примеров функций, имеющих разрыв в точке $x=1$.

Пример 1: Функция с разрывом второго рода (бесконечный разрыв)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Эта функция не определена в точке $x=1$, так как знаменатель дроби обращается в ноль, что нарушает первое условие непрерывности. Найдем односторонние пределы функции при приближении к $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$ (так как $x-1$ является бесконечно малым отрицательным числом).
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$ (так как $x-1$ является бесконечно малым положительным числом).

Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x=1$ функция имеет разрыв второго рода. График функции в этой точке имеет вертикальную асимптоту $x=1$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Пример 2: Функция с разрывом первого рода («скачок»)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 1 \\ 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Эта функция определена в точке $x=1$, ее значение равно $f(1) = 1$. Проверим существование предела в этой точке, вычислив односторонние пределы:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1) = 1$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($-1 \ne 1$), общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Это нарушает второе условие непрерывности. Такой тип разрыва называется разрывом первого рода или «скачком». Величина скачка равна разности односторонних пределов: $1 - (-1) = 2$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 1 \\ 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Пример 3: Функция с устранимым разрывом

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Эта функция не определена в точке $x=1$, так как знаменатель обращается в ноль. Первое условие непрерывности нарушено. Однако мы можем найти предел функции в этой точке:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Поскольку при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к 1, но не равные 1, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1=2$.

Предел функции в точке $x=1$ существует и конечен, но сама функция в этой точке не определена. Такой разрыв называется устранимым. Его можно «устранить», доопределив функцию в точке разрыва значением, равным ее пределу:

$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & \text{если } x \ne 1 \\ 2, & \text{если } x = 1 \end{cases}$

Функция $g(x)$ уже будет непрерывной в точке $x=1$. Однако исходная функция $f(x)$ имеет в этой точке разрыв.

Ответ: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

9. Сколько свойств функции мы уже можем записать, когда выполняем чтение графика? Перечислите эти свойства.

При выполнении "чтения" графика функции, то есть его визуального анализа, можно определить и записать большое количество её свойств. Обычно при полном исследовании функции по её графику рассматривают около 10 основных характеристик. Перечислим эти свойства:

1. Область определения ($D(f)$). Это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция существует. По графику это проекция всех его точек на ось абсцисс ($Ox$).

2. Область (множество) значений ($E(f)$). Это множество всех значений $y$, которые принимает функция. По графику это проекция всех его точек на ось ординат ($Oy$).

3. Четность или нечетность. Это свойство симметрии графика. Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси $Oy$ (для всех $x$ из $D(f)$ выполняется $f(-x) = f(x)$). Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат (для всех $x$ из $D(f)$ выполняется $f(-x) = -f(x)$). В противном случае функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

4. Периодичность. Функция периодична, если ее график состоит из одинаковых, регулярно повторяющихся фрагментов. Наименьшее положительное число $T$, такое что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, называется периодом.

5. Точки пересечения с осями координат. Определяются точки, в которых график пересекает оси $Ox$ и $Oy$. Точки пересечения с осью $Ox$ называются нулями функции (в них $y=0$). Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, f(0))$.

6. Промежутки знакопостоянства. Это интервалы оси $Ox$, на которых функция сохраняет свой знак, то есть принимает либо только положительные значения ($f(x) > 0$, график выше оси $Ox$), либо только отрицательные ($f(x) < 0$, график ниже оси $Ox$).

7. Промежутки монотонности. Это интервалы, на которых функция возрастает (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается, график "идет вверх" при движении слева направо) или убывает (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается, график "идет вниз").

8. Точки экстремума и экстремумы функции. Точки экстремума — это значения аргумента $x$, в которых функция достигает своего локального максимума (на графике это "вершина") или локального минимума (на графике это "впадина"). Сами значения функции в этих точках называются экстремумами (максимумом и минимумом) функции.

9. Непрерывность. По графику можно определить, является ли функция непрерывной (ее график — это сплошная, непрерывная линия) или она имеет точки разрыва (места, где график "рвется", имеет "проколы" или "скачки").

10. Асимптоты. Это прямые линии, к которым график функции неограниченно приближается при удалении точки графика в бесконечность. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Ответ: При чтении графика можно записать около 10 основных свойств функции: область определения, область значений, четность/нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат (включая нули функции), промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы, непрерывность и точки разрыва, асимптоты.

46.14 а) $y = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -1; \\ 2x + 3, & \text{если } -1 < x \le 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 0, & \text{если } -5 \le x \le -2; \\ x + 2, & \text{если } -2 < x \le 2. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Она определена на двух промежутках. Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. На промежутке $x \in [-4, -1]$ функция задана как $y=1$. Графиком этой части является отрезок горизонтальной прямой. Концевые точки этого отрезка имеют координаты $(-4, 1)$ и $(-1, 1)$. Так как неравенства нестрогие ($\le$), обе точки включаются в график (на графике они изображаются закрашенными).

2. На промежутке $x \in (-1, 1]$ функция задана как $y = 2x + 3$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концевых точек. При $x$, стремящемся к $-1$ справа, $y$ стремится к $2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является началом этого отрезка, но не включается в него, так как неравенство строгое ($<$) (на графике она изображается выколотой). При $x = 1$, $y = 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1, 5)$ является концом отрезка и включается в него, так как неравенство нестрогое ($\le$) (на графике она изображается закрашенной).

Соединяя эти две части, мы видим, что в точке $x = -1$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-1, 1)$, а вторая начинается с выколотой точки $(-1, 1)$. Это значит, что график в этой точке непрерывен.

Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых функция определена. Она является объединением промежутков $[-4, -1]$ и $(-1, 1]$, что дает $D(y) = [-4, 1]$.

Область значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые функция принимает. На первом отрезке $y$ всегда равно $1$. На втором отрезке, поскольку функция $y = 2x + 3$ возрастает, значения $y$ изменяются от $1$ (не включая) до $5$ (включая), то есть принадлежат промежутку $(1, 5]$. Объединяя значения с обоих участков, получаем $E(y) = \{1\} \cup (1, 5] = [1, 5]$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=1$ на промежутке $x \in [-4, -1]$ и отрезка прямой $y=2x+3$ на промежутке $x \in (-1, 1]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 1]$. Область значений функции $E(y) = [1, 5]$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной и определена на двух промежутках. Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. На промежутке $x \in [-5, -2]$ функция задана как $y=0$. Графиком этой части является отрезок горизонтальной прямой, лежащий на оси абсцисс (Ox). Концевые точки этого отрезка имеют координаты $(-5, 0)$ и $(-2, 0)$. Так как неравенства нестрогие ($\le$), обе точки включаются в график (на графике они изображаются закрашенными).

2. На промежутке $x \in (-2, 2]$ функция задана как $y = x + 2$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концевых точек. При $x$, стремящемся к $-2$ справа, $y$ стремится к $-2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$ является началом этого отрезка, но не включается в него, так как неравенство строгое ($<$) (на графике она изображается выколотой). При $x = 2$, $y = 2 + 2 = 4$. Точка $(2, 4)$ является концом отрезка и включается в него, так как неравенство нестрогое ($\le$) (на графике она изображается закрашенной).

Соединяя эти две части, мы видим, что в точке $x = -2$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-2, 0)$, а вторая начинается с выколотой точки $(-2, 0)$. Это значит, что график в этой точке непрерывен.

Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых функция определена. Она является объединением промежутков $[-5, -2]$ и $(-2, 2]$, что дает $D(y) = [-5, 2]$.

Область значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые функция принимает. На первом отрезке $y$ всегда равно $0$. На втором отрезке, поскольку функция $y = x + 2$ возрастает, значения $y$ изменяются от $0$ (не включая) до $4$ (включая), то есть принадлежат промежутку $(0, 4]$. Объединяя значения с обоих участков, получаем $E(y) = \{0\} \cup (0, 4] = [0, 4]$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=0$ на промежутке $x \in [-5, -2]$ и отрезка прямой $y=x+2$ на промежутке $x \in (-2, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-5, 2]$. Область значений функции $E(y) = [0, 4]$.

46.15 a) $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } -2 \le x \le 1; \\ x - 1, & \text{если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ -x + 3, & \text{если } 0 < x \le 4. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из двух частей, каждая из которых является отрезком прямой. Чтобы построить график, рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $-2 \le x \le 1$ функция задается формулой $y = -x + 1$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для его построения достаточно найти координаты двух точек, например, на концах промежутка.

• При $x = -2$, $y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$. Получаем точку $(-2, 3)$.
• При $x = 1$, $y = -(1) + 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.

Соединяем точки $(-2, 3)$ и $(1, 0)$ отрезком. Так как неравенства нестрогие, обе конечные точки принадлежат графику.

2. На промежутке $1 < x \le 4$ функция задается формулой $y = x - 1$. Это также линейная функция. Найдем координаты концов соответствующего отрезка.

• При $x \to 1$ (справа), $y \to 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$. Хотя для этого участка точка $x=1$ не включается, она совпадает с конечной точкой предыдущего участка, что означает, что график непрерывен в этой точке.
• При $x = 4$, $y = 4 - 1 = 3$. Получаем точку $(4, 3)$.

Соединяем точки $(1, 0)$ и $(4, 3)$ отрезком. Точка $(4, 3)$ принадлежит графику, так как неравенство $x \le 4$ нестрогое.

Объединив эти два отрезка, мы получим итоговый график функции. Он представляет собой ломаную линию, напоминающую "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка, соединяющего точки $(-2, 3)$ и $(1, 0)$, и отрезка, соединяющего точки $(1, 0)$ и $(4, 3)$.

б)

Данная функция также является кусочно-линейной. Построим её график, рассмотрев каждый участок.

1. На промежутке $-4 \le x \le 0$ функция задается формулой $y = x + 3$. Это линейная функция. Найдём координаты концов отрезка.

• При $x = -4$, $y = -4 + 3 = -1$. Получаем точку $(-4, -1)$.
• При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

Соединяем точки $(-4, -1)$ и $(0, 3)$ отрезком. Обе точки включены в график, так как неравенства нестрогие.

2. На промежутке $0 < x \le 4$ функция задается формулой $y = -x + 3$. Это также линейная функция. Найдём координаты концов отрезка.

• При $x \to 0$ (справа), $y \to -0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$. Эта точка совпадает с конечной точкой предыдущего участка, значит, график непрерывен.
• При $x = 4$, $y = -4 + 3 = -1$. Получаем точку $(4, -1)$.

Соединяем точки $(0, 3)$ и $(4, -1)$ отрезком. Точка $(4, -1)$ принадлежит графику.

Итоговый график — это объединение двух построенных отрезков. Он представляет собой ломаную линию в виде перевернутой буквы "V" или "шалаша", с вершиной в точке $(0, 3)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка, соединяющего точки $(-4, -1)$ и $(0, 3)$, и отрезка, соединяющего точки $(0, 3)$ и $(4, -1)$.

46.16 a) $y = \begin{cases} -1, \text{ если } -4 \le x < -1; \\ -x^2, \text{ если } -1 \le x \le 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 3; \\ 9, \text{ если } 3 < x \le 5. \end{cases}$

Заданная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определенных на разных интервалах. Проанализируем каждую часть.

1. На промежутке $-4 \le x < -1$ функция имеет вид $y = -1$. Графиком этой части является горизонтальный отрезок прямой. Левая конечная точка отрезка, при $x = -4$, имеет координаты $(-4, -1)$ и включается в график (так как неравенство $x \ge -4$ нестрогое). Правая конечная точка, при $x = -1$, имеет координаты $(-1, -1)$ и не включается в график (так как неравенство $x < -1$ строгое; на графике ее принято обозначать выколотой точкой).

2. На промежутке $-1 \le x \le 2$ функция имеет вид $y = -x^2$. Графиком этой части является участок параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах промежутка:

• При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ включается в график. Эта точка совпадает с выколотой точкой из первой части, "заполняя" ее.
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ включается в график.

Вершина параболы $(0, 0)$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 0 \le 2$. В этой точке функция достигает своего максимального значения на этом участке, равного $0$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $x = 2$ и равно $-4$.

Свойства функции:

• Область определения: Объединяем промежутки, на которых задана функция: $D(y) = [-4, -1) \cup [-1, 2] = [-4, 2]$.
• Область значений: На первом участке значение функции постоянно и равно $-1$. На втором участке значения меняются от $-4$ до $0$. Объединяем эти значения: $E(y) = \{-1\} \cup [-4, 0] = [-4, 0]$.
• Непрерывность: В точке "стыка" $x = -1$ значение функции по второй формуле $y(-1) = -1$ совпадает с пределом слева от первой части ($\lim_{x \to -1^-} -1 = -1$), поэтому функция является непрерывной на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая – горизонтальный отрезок $y = -1$ на промежутке $x \in [-4, -1)$. Вторая – часть параболы $y = -x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 2]$. Область значений функции $E(y) = [-4, 0]$.

Данная функция также является кусочно-заданной. Проанализируем ее части.

1. На отрезке $-2 \le x \le 3$ функция имеет вид $y = x^2$. Графиком этой части является участок параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ включается в график.
• При $x = 3$, $y = (3)^2 = 9$. Точка $(3, 9)$ включается в график.

Вершина параболы $(0, 0)$ принадлежит данному отрезку, так как $-2 \le 0 \le 3$. В этой точке функция достигает своего минимального значения на этом участке, равного $0$. Максимальное значение на этом участке достигается в точке $x=3$ и равно $9$.

2. На полуинтервале $3 < x \le 5$ функция имеет вид $y = 9$. Графиком этой части является горизонтальный отрезок прямой. Левая конечная точка отрезка, при $x=3$, имеет координаты $(3, 9)$ и не включается в график (неравенство строгое, выколотая точка). Правая конечная точка, при $x=5$, имеет координаты $(5, 9)$ и включается в график (неравенство нестрогое).

Свойства функции:

• Область определения: Объединяем промежутки: $D(y) = [-2, 3] \cup (3, 5] = [-2, 5]$.
• Область значений: На первом участке значения меняются от $0$ (в вершине) до $9$. Таким образом, множество значений здесь $[0, 9]$. На втором участке $y=9$. Объединяем эти значения: $E(y) = [0, 9] \cup \{9\} = [0, 9]$.
• Непрерывность: В точке "стыка" $x = 3$ значение функции по первой формуле $y(3) = 9$ совпадает с пределом справа от второй части ($\lim_{x \to 3^+} 9 = 9$). Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения. Выколотая точка $(3, 9)$ из второй части графика "заполняется" точкой $(3, 9)$ из первой части.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая – часть параболы $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2, 3]$. Вторая – горизонтальный отрезок $y = 9$ на полуинтервале $x \in (3, 5]$. Область определения функции $D(y) = [-2, 5]$. Область значений функции $E(y) = [0, 9]$.

46.17 a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0; \\ x, \text{ если } 0 < x \le 4; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x, \text{ если } -4 \le x < 0; \\ -x^2, \text{ если } 0 \le x \le 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. На промежутке $-3 \le x \le 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является часть параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$ принадлежит графику.
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $0 < x \le 4$ функция задаётся формулой $y = x$. Графиком этой функции является часть прямой, биссектрисы первого координатного угла. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0+$), $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (она будет "выколотой").
При $x = 4$, $y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Совместим графики. Поскольку в точке $x=0$ первая часть графика заканчивается в точке $(0,0)$ (включительно), а вторая начинается в этой же точке (не включительно), то разрыва в этой точке нет, и функция является непрерывной.
Область определения функции $D(y)$ — это объединение промежутков $[-3, 0]$ и $(0, 4]$, то есть $D(y) = [-3, 4]$.
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Для первой части ($y=x^2$ на $[-3, 0]$) область значений — $[0, 9]$. Для второй части ($y=x$ на $(0, 4]$) область значений — $(0, 4]$. Объединяя эти два множества, получаем $E(y) = [0, 9] \cup (0, 4] = [0, 9]$.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=x^2$ на отрезке $[-3, 0]$ и части прямой $y=x$ на полуинтервале $(0, 4]$. Область определения функции $D(y) = [-3, 4]$. Область значений функции $E(y) = [0, 9]$.

Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. На промежутке $-4 \le x < 0$ функция задаётся формулой $y = -x$. Графиком этой функции является часть прямой, биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = -4$, $y = -(-4) = 4$. Точка $(-4, 4)$ принадлежит графику.
При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0-$), $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (она будет "выколотой").

2. На промежутке $0 \le x \le 2$ функция задаётся формулой $y = -x^2$. Графиком этой функции является часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
При $x = 2$, $y = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ принадлежит графику.

Совместим графики. В точке $x=0$ первая часть графика заканчивается в "выколотой" точке $(0,0)$, а вторая начинается в этой же точке (включительно). Таким образом, разрыва в точке $x=0$ нет, и функция является непрерывной.
Область определения функции $D(y)$ — это объединение промежутков $[-4, 0)$ и $[0, 2]$, то есть $D(y) = [-4, 2]$.
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Для первой части ($y=-x$ на $[-4, 0)$) область значений — $(0, 4]$. Для второй части ($y=-x^2$ на $[0, 2]$) область значений — $[-4, 0]$. Объединяя эти два множества, получаем $E(y) = [-4, 0] \cup (0, 4] = [-4, 4]$.

Ответ: График функции состоит из части прямой $y=-x$ на полуинтервале $[-4, 0)$ и части параболы $y=-x^2$ на отрезке $[0, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 2]$. Область значений функции $E(y) = [-4, 4]$.

46.18 a) $y = \begin{cases} x + 3, \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, \text{ если } -1 < x \le 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0; \\ 2 - 2x, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2. \end{cases}$

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

Первая часть графика — это график функции $y = x + 3$ на промежутке $[-3, -1]$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка прямой достаточно найти координаты его концов.
При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Координаты первой точки: $(-3, 0)$.
При $x = -1$, $y = -1 + 3 = 2$. Координаты второй точки: $(-1, 2)$.
Обе точки, $(-3, 0)$ и $(-1, 2)$, включаются в график, так как неравенства нестрогие.

Вторая часть графика — это график функции $y = x^2$ на промежутке $(-1, 2]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.
Найдем значения функции на концах промежутка.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику и изображается выколотой (пустым кружком).
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 2$), точка $(2, 4)$ принадлежит графику и изображается закрашенной (сплошной).
Вершина параболы ($x=0, y=0$) принадлежит данному промежутку, поэтому точка $(0,0)$ является частью графика.

Соединив обе части, получаем искомый график.
Область определения функции — это объединение промежутков: $D(y) = [-3, -1] \cup (-1, 2] = [-3, 2]$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$. На первом отрезке $y$ изменяется от $0$ до $2$. На втором участке (парабола) $y$ изменяется от $0$ (в вершине) до $4$. Значение $y=1$ в точке $x=-1$ выколото, но оно достигается при $x=1$, которое входит в промежуток $(-1, 2]$. Таким образом, область значений — это объединение множеств $[0, 2]$ и $[0, 4]$, что дает $E(y) = [0, 4]$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух частей: отрезка прямой, соединяющего точки $(-3, 0)$ и $(-1, 2)$, и участка параболы $y=x^2$, идущего от выколотой точки $(-1, 1)$ через вершину в $(0, 0)$ до точки $(2, 4)$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ 2 - 2x, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

Первая часть графика — это график функции $y = -x^2$ на промежутке $[-3, 0]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$.
Найдем значения функции на концах промежутка.
При $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Координаты начальной точки: $(-3, -9)$.
При $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Координаты конечной точки: $(0, 0)$.
Обе точки, $(-3, -9)$ и $(0, 0)$, включаются в график, так как неравенства нестрогие.

Вторая часть графика — это график функции $y = 2 - 2x$ на промежутке $(0, 3]$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой.
Найдем значения на концах промежутка.
При $x = 0$, $y = 2 - 2(0) = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 0$), точка $(0, 2)$ не принадлежит графику и изображается выколотой.
При $x = 3$, $y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 3$), точка $(3, -4)$ принадлежит графику и изображается закрашенной.

Соединив обе части, получаем искомый график. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.
Область определения функции — это объединение промежутков: $D(y) = [-3, 0] \cup (0, 3] = [-3, 3]$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$. На первом участке (парабола) $y$ изменяется от $-9$ до $0$. На втором участке (отрезок) $y$ изменяется от $-4$ до $2$ (не включая $2$). Объединение множеств $[-9, 0]$ и $[-4, 2)$ дает итоговую область значений $E(y) = [-9, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух частей: участка параболы $y=-x^2$, идущего от точки $(-3, -9)$ до вершины в точке $(0, 0)$ (обе точки включительно), и отрезка прямой, идущего от выколотой точки $(0, 2)$ до точки $(3, -4)$ включительно. Функция имеет разрыв в точке $x=0$.

46.19 а) $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ 2x - 8, & \text{если } 2 < x \le 5; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x < 2; \\ 6 - x, & \text{если } 2 \le x \le 7. \end{cases}$

а) Найдем область значений для функции $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 2x - 8, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$

1. Рассмотрим первую часть функции $y = -x^2$ на промежутке $-1 \le x \le 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Поскольку $x=0$ входит в данный промежуток, максимальное значение функции на этом участке равно $0$. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$.
При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$.
Таким образом, на промежутке $[-1, 2]$ функция принимает значения от $-4$ до $0$. Область значений для этой части: $E_1 = [-4, 0]$.

2. Рассмотрим вторую часть функции $y = 2x - 8$ на промежутке $2 < x \le 5$. Это линейная функция, график которой — прямая. Так как коэффициент при $x$ положителен ($k=2$), функция возрастает. Найдем значения на концах промежутка:
При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), $y$ стремится к $2 \cdot 2 - 8 = -4$. Эта точка не включается.
При $x = 5$, $y = 2 \cdot 5 - 8 = 2$.
Поскольку функция возрастает, на промежутке $(2, 5]$ она принимает значения от $-4$ (не включая) до $2$ (включая). Область значений для этой части: $E_2 = (-4, 2]$.

3. Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей: $E = E_1 \cup E_2 = [-4, 0] \cup (-4, 2]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговый промежуток от $-4$ (включительно) до $2$ (включительно).

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-4, 2]$.

б) Найдем область значений для функции $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ 6 - x, & \text{если } 2 \le x \le 7 \end{cases}$

1. Рассмотрим первую часть функции $y = x^2$ на промежутке $-3 \le x < 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Поскольку $x=0$ входит в данный промежуток, минимальное значение функции на этом участке равно $0$. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.
При $x$, стремящемся к $2$ слева ($x \to 2^-$), $y$ стремится к $2^2 = 4$. Эта точка не включается.
Наибольшее значение на этом участке равно $9$, а наименьшее — $0$. Область значений для этой части: $E_1 = [0, 9]$.

2. Рассмотрим вторую часть функции $y = 6 - x$ на промежутке $2 \le x \le 7$. Это линейная функция, график которой — прямая. Так как коэффициент при $x$ отрицателен ($k=-1$), функция убывает. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = 2$, $y = 6 - 2 = 4$.
При $x = 7$, $y = 6 - 7 = -1$.
Поскольку функция убывает, на промежутке $[2, 7]$ она принимает значения от $-1$ до $4$. Область значений для этой части: $E_2 = [-1, 4]$.

3. Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей: $E = E_1 \cup E_2 = [0, 9] \cup [-1, 4]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговый промежуток от $-1$ (включительно) до $9$ (включительно).

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-1, 9]$.