Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

44.50 С помощью графика функции $y = x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $x^2 < 1$;

б) $x^2 \ge 1$;

в) $x^2 \le 9$;

г) $x^2 > 9$.

Чтобы решить данные неравенства с помощью графика функции $y = x^2$, мы будем анализировать расположение параболы относительно горизонтальных прямых. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

а) $x^2 < 1$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ меньше 1. Графически это означает, что мы ищем ту часть параболы, которая находится ниже горизонтальной прямой $y = 1$.
Сначала определим точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 1$. Для этого решим уравнение $x^2 = 1$. Его решения: $x = -1$ и $x = 1$.
На графике видно, что парабола находится ниже линии $y = 1$ на интервале между $x = -1$ и $x = 1$. Поскольку неравенство строгое ($<$), конечные точки интервала не включаются в решение.
Ответ: $-1 < x < 1$.

б) $x^2 \ge 1$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ больше или равны 1. Графически это соответствует тем частям параболы, которые лежат на или выше прямой $y = 1$.
Точки пересечения, как мы уже знаем, это $x = -1$ и $x = 1$.
Парабола находится выше прямой $y = 1$ для всех $x$ левее $-1$ и правее $1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами точки пересечения ($x=-1$ и $x=1$) также являются частью решения.
Ответ: $x \le -1$ или $x \ge 1$.

в) $x^2 \le 9$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ меньше или равны 9. Графически это та часть параболы, которая лежит на или ниже прямой $y = 9$.
Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 9$, решив уравнение $x^2 = 9$. Решения: $x = -3$ и $x = 3$.
Парабола находится ниже линии $y = 9$ на интервале между $x = -3$ и $x = 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), конечные точки ($x=-3$ и $x=3$) включаются в решение.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.

г) $x^2 > 9$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ больше 9. Графически это те части параболы, которые лежат выше прямой $y = 9$.
Точки пересечения — $x = -3$ и $x = 3$.
Парабола находится выше прямой $y = 9$ для всех $x$ левее $-3$ и правее $3$. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Ответ: $x < -3$ или $x > 3$.

44.51 С помощью графика функции $y = -x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $-x^2 \leq -4$;

б) $-x^2 > -9$;

в) $-x^2 \geq -4$;

г) $-x^2 < -9$.

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат — точке (0, 0). Решение каждого неравенства сводится к нахождению таких значений $x$, при которых ординаты (значения $y$) точек графика удовлетворяют заданному условию.

а) $-x^2 \le -4$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится на прямой $y = -4$ или ниже ее. Для этого сначала найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -4$.
$-x^2 = -4$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Это значит, что парабола пересекает прямую в точках $(-2, -4)$ и $(2, -4)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее части находятся ниже прямой $y=-4$ при значениях $x$, которые лежат левее $x=-2$ и правее $x=2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), то и сами точки пересечения входят в решение.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков: $x \le -2$ и $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

б) $-x^2 > -9$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится выше прямой $y = -9$.
Найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -9$:
$-x^2 = -9$
$x^2 = 9$
$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Точки пересечения: $(-3, -9)$ и $(3, -9)$.
Вершина параболы (0, 0) находится выше прямой $y = -9$. Следовательно, часть графика, расположенная между точками $x = -3$ и $x = 3$, находится выше этой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому концы интервала не включаются в решение.
Решением является интервал $-3 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

в) $-x^2 \ge -4$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится на прямой $y = -4$ или выше ее.
Точки пересечения параболы и прямой $y = -4$ мы уже нашли в пункте а): $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Вершина параболы находится в точке (0, 0), что выше прямой $y = -4$. Значит, часть графика между точками $x = -2$ и $x = 2$ лежит выше этой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), концы отрезка включаются в решение.
Решением является отрезок $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.

г) $-x^2 < -9$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится ниже прямой $y = -9$.
Точки пересечения параболы и прямой $y = -9$ мы нашли в пункте б): $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее части находятся ниже прямой $y=-9$ при значениях $x$, которые лежат левее $x=-3$ и правее $x=3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому сами точки пересечения не включаются в решение.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -3$ и $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

44.52. С помощью графика функции $y = x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $1 < x^2 < 4$;

б) $4 \le x^2 \le 9$.

a)

Чтобы решить неравенство $1 < x^2 < 4$ с помощью графика функции $y = x^2$, необходимо найти такие значения $x$, при которых соответствующие им значения $y$ на графике будут строго больше 1, но строго меньше 4.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Она симметрична относительно оси OY.

1. Найдём значения $x$, при которых $y$ равен границам интервала, то есть 1 и 4.

• Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Корнями этого уравнения являются $x = -1$ и $x = 1$.
• Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = -2$ и $x = 2$.

2. Теперь рассмотрим на графике части параболы, которые лежат между горизонтальными прямыми $y=1$ и $y=4$. Таких частей две из-за симметрии параболы.

Первая часть находится в правой полуплоскости (где $x > 0$). Здесь значения $y$ находятся между 1 и 4, когда $x$ находится между 1 и 2. Так как неравенство строгое ($<$, а не $\le$), концы интервала не включаются. Таким образом, получаем $1 < x < 2$.

Вторая часть находится в левой полуплоскости (где $x < 0$). Здесь значения $y$ находятся между 1 и 4, когда $x$ находится между -2 и -1. Аналогично, из-за строгости неравенства получаем $-2 < x < -1$.

3. Объединяем полученные интервалы, чтобы получить полное решение.

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; 2)$.

б)

Чтобы решить неравенство $4 \le x^2 \le 9$ с помощью графика функции $y = x^2$, мы ищем значения $x$, для которых соответствующие значения $y$ на графике будут больше или равны 4 и меньше или равны 9.

1. Найдём значения $x$, при которых $y$ равен границам отрезка, то есть 4 и 9.

• Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = -2$ и $x = 2$.
• Если $y = 9$, то $x^2 = 9$. Корнями этого уравнения являются $x = -3$ и $x = 3$.

2. Рассмотрим на графике части параболы, которые лежат между горизонтальными прямыми $y=4$ и $y=9$, включая точки на этих прямых.

Первая часть находится в правой полуплоскости (где $x > 0$). Здесь значения $y$ находятся в отрезке $[4, 9]$, когда $x$ находится в отрезке $[2, 3]$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы отрезка включаются. Таким образом, получаем $2 \le x \le 3$.

Вторая часть находится в левой полуплоскости (где $x < 0$). Здесь значения $y$ находятся в отрезке $[4, 9]$, когда $x$ находится в отрезке $[-3, -2]$. Аналогично, из-за нестрогости неравенства получаем $-3 \le x \le -2$.

3. Объединяем полученные отрезки, чтобы получить полное решение.

Ответ: $x \in [-3; -2] \cup [2; 3]$.

Постройте график функции:

44.53 а) $y = \frac{2x^2}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$;

в) $y = -\frac{x^2}{x}$;

г) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

а) $y = \frac{2x^2}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. При условии $x \neq 0$ мы можем упростить выражение функции, сократив дробь на $x$: $y = \frac{2x^2}{x} = 2x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = 2x$, за исключением одной точки. График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Так как $x=0$ не входит в область определения исходной функции, точка на прямой $y=2x$ с абсциссой $x=0$ должна быть "выколота". Найдем ординату этой точки: $y = 2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, из графика исключается точка с координатами $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = 2x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

б) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Разложим числитель дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

Теперь упростим функцию при $x \neq 3$: $y = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$. Графиком данной функции является прямая $y = x+3$, из которой удалена точка с абсциссой $x=3$. Найдем координаты этой выколотой точки: при $x=3$, $y = 3 + 3 = 6$. Значит, из графика исключена точка $(3, 6)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x+3$ с выколотой точкой $(3, 6)$.

в) $y = -\frac{x^2}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$. При $x \neq 0$ упростим выражение: $y = -\frac{x^2}{x} = -x$.

Графиком функции является прямая $y = -x$ (биссектриса II и IV координатных четвертей). Так как $x=0$ не принадлежит области определения, точка на этой прямой с абсциссой $x=0$ должна быть выколота. Найдем ее координаты: при $x=0$, $y = -0 = 0$. Следовательно, из графика исключается точка $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = -x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

г) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Область определения функции: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.

Упростим функцию на ее области определения: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$. Графиком этой функции является прямая $y = x-2$, на которой выколота точка с абсциссой $x=-2$. Найдем ординату этой точки: $y = -2 - 2 = -4$. Следовательно, из графика исключена точка с координатами $(-2, -4)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x-2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

44.54 а) $y = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x - 2}$;

б) $y = \frac{x^3 + 6x^2 + 9x}{x^2 + 3x}$.

a)

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x - 2}$.

1. Первым шагом найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому устанавливаем ограничение:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Далее упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4)$.
Выражение в скобках $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=2$:
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Таким образом, числитель преобразуется к виду $2(x - 2)^2$.

3. Подставим разложенный числитель обратно в исходное уравнение функции:
$y = \frac{2(x - 2)^2}{x - 2}$.

4. Поскольку мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:
$y = 2(x - 2)$
$y = 2x - 4$.

Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = 2x - 4$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x=2$. Координаты этой точки можно найти, подставив $x=2$ в упрощенное уравнение: $y = 2(2) - 4 = 0$. Точка разрыва имеет координаты $(2, 0)$.

Ответ: $y = 2x - 4$ при $x \neq 2$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^3 + 6x^2 + 9x}{x^2 + 3x}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 + 3x \neq 0$.
Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобки:
$x(x + 3) \neq 0$.
Это неравенство выполняется, когда оба множителя не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$. Отсюда получаем:
$x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$ и $x=-3$.

2. Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^3 + 6x^2 + 9x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 6x + 9)$.
Выражение в скобках $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$:
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Таким образом, числитель равен $x(x + 3)^2$.
Знаменатель, как мы уже выяснили, равен $x(x + 3)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную функцию:
$y = \frac{x(x + 3)^2}{x(x + 3)}$.

4. Учитывая ограничения $x \neq 0$ и $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общие множители $x$ и $(x+3)$:
$y = x + 3$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 3$ с двумя "выколотыми" точками, соответствующими значениям $x=0$ и $x=-3$. Найдем координаты этих точек:
При $x=0$: $y = 0 + 3 = 3$. Точка разрыва — $(0, 3)$.
При $x=-3$: $y = -3 + 3 = 0$. Точка разрыва — $(-3, 0)$.

Ответ: $y = x + 3$ при $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

44.55 а) $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x+3}$;

б) $y = \frac{-x^3 + x^2}{x-1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$.

1. Нахождение области определения.

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $x + 3 = 0$.

Отсюда $x = -3$.

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = -3$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)$.

Подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x^2(x + 3)}{x + 3}$.

Поскольку мы уже установили, что $x \neq -3$, то выражение $(x+3)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$y = x^2$.

3. Анализ графика.

Исходная функция эквивалентна функции $y=x^2$ при условии $x \neq -3$. Это означает, что ее график — это парабола $y=x^2$, у которой удалена (или "выколота") одна точка. Эта точка соответствует значению $x = -3$.

Чтобы найти координаты выколотой точки, подставим $x = -3$ в упрощенное уравнение $y = x^2$:

$y = (-3)^2 = 9$.

Таким образом, график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$ представляет собой параболу $y = x^2$ с выколотой точкой в $(-3; 9)$.

Ответ: $y = x^2$ при $x \neq -3$.

б)

Дана функция $y = \frac{-x^3 + x^2}{x - 1}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$.

Отсюда $x \neq 1$.

Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = 1$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$-x^3 + x^2 = -x^2(x - 1)$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{-x^2(x - 1)}{x - 1}$.

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, выражение $(x-1)$ не равно нулю, и на него можно сократить:

$y = -x^2$.

3. Анализ графика.

Функция $y = \frac{-x^3 + x^2}{x - 1}$ эквивалентна функции $y = -x^2$ при условии $x \neq 1$. Ее график — это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз) с выколотой точкой при $x=1$.

Найдем координаты этой точки, подставив $x = 1$ в упрощенное уравнение $y = -x^2$:

$y = -(1)^2 = -1$.

Следовательно, график функции представляет собой параболу $y = -x^2$ с выколотой точкой в $(1; -1)$.

Ответ: $y = -x^2$ при $x \neq 1$.

44.56 а) $y = \frac{-x^4 + x^2}{(x-1)(x+1)}$;

б) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{(x-2)(x+2)}$

a) $y = \frac{-x^4 + x^2}{(x-1)(x+1)}$

Для того чтобы упростить данное выражение, сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому:

$(x-1)(x+1) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $-x^2$:

$-x^4 + x^2 = -x^2(x^2 - 1)$

Знаменатель является формулой разности квадратов:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Подставим преобразованные выражения обратно в функцию:

$y = \frac{-x^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$

При условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$:

$y = -x^2$

Таким образом, исходная функция совпадает с функцией $y = -x^2$ при всех значениях $x$, кроме $x=1$ и $x=-1$. Графиком является парабола $y = -x^2$ с двумя "выколотыми" точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x=1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.

При $x=-1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Ответ: $y = -x^2$ при $x \neq \pm1$.

б) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{(x-2)(x+2)}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $x^2$:

$x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)$

Знаменатель является формулой разности квадратов:

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

Подставим преобразованные выражения в исходную функцию:

$y = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Учитывая область определения ($x \neq 2$ и $x \neq -2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:

$y = x^2$

Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = x^2$ для всех $x$, за исключением $x=2$ и $x=-2$. Графиком является парабола $y = x^2$ с двумя "выколотыми" точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x=2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=-2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

Ответ: $y = x^2$ при $x \neq \pm2$.

45.1 В одной системе координат постройте графики заданных функций и найдите координаты точек их пересечения:

а) $y = x + 3$ и $y = 2x + 1$;

б) $y = x^2$ и $y = 9$;

в) $y = -x$ и $y = 3x - 4$;

г) $y = -x^2$ и $y = -2x.$

а) Даны функции $y = x + 3$ и $y = 2x + 1$.

Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой в одной системе координат достаточно найти по две точки для каждой функции.

Для графика функции $y = x + 3$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Точка (-3, 0).
Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = 2x + 1$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Точка (1, 3).
Проводим прямую через эти две точки.

Для нахождения координат точки пересечения графиков нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части выражений для $y$:

$x + 3 = 2x + 1$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3 - 1 = 2x - x$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$:

$y = 2 + 3 = 5$

Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами (2, 5).

Ответ: (2, 5)

б) Даны функции $y = x^2$ и $y = 9$.

Функция $y = x^2$ — квадратичная. Её график — парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для построения можно использовать точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).

Функция $y = 9$ — постоянная. Её график — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 9) параллельно оси OX.

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 9$

Решим это уравнение:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Так как для всех точек на прямой $y=9$ координата $y$ равна 9, то точки пересечения имеют координаты (-3, 9) и (3, 9).

Ответ: (-3, 9) и (3, 9)

в) Даны функции $y = -x$ и $y = 3x - 4$.

Обе функции являются линейными, их графики — прямые.

График функции $y = -x$ — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Проходит через точки (0, 0) и (1, -1).

Для графика функции $y = 3x - 4$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка (2, 2).

Для нахождения координат точки пересечения приравняем правые части уравнений:

$-x = 3x - 4$

Решим уравнение:

$4 = 3x + x$

$4 = 4x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ в первое уравнение:

$y = -1$

Координаты точки пересечения — (1, -1).

Ответ: (1, -1)

г) Даны функции $y = -x^2$ и $y = -2x$.

Функция $y = -x^2$ — квадратичная. Её график — парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз. Для построения можно взять точки: (0, 0), (1, -1), (-1, -1), (2, -4).

Функция $y = -2x$ — линейная. Её график — прямая, проходящая через начало координат. Для построения возьмем вторую точку: если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2 = -4$. Точка (2, -4).

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

$x_2 - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения (0, 0).

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = -2 \cdot 2 = -4$. Точка пересечения (2, -4).

Ответ: (0, 0) и (2, -4)