Страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Как называют график функции $y = x^2$? функции $y = -x^2$?

функции $y = x^2$

График данной функции называется параболой. Это следует из того, что функция $y = x^2$ является квадратичной (её общий вид $y = ax^2 + bx + c$).
Для этой конкретной параболы характерно следующее:
- Ветви направлены вверх, так как коэффициент $a=1$ перед $x^2$ положителен ($a > 0$).
- Вершина параболы расположена в начале координат, в точке $(0, 0)$, и это точка минимума функции.
- Осью симметрии служит ось ординат (прямая $x=0$).

Ответ: парабола.

функции $y = -x^2$

График этой функции также называется параболой, поскольку она тоже является квадратичной.
Особенности этой параболы:
- Ветви направлены вниз, так как коэффициент $a=-1$ перед $x^2$ отрицателен ($a < 0$).
- Вершина параболы также находится в точке $(0, 0)$, но теперь это точка максимума функции.
- График симметричен относительно оси ординат ($x=0$).
- Данная парабола является зеркальным отражением параболы $y = x^2$ относительно оси абсцисс.

Ответ: парабола.

2. Что является осью симметрии графика функции $y = x^2$? графика функции $y = -x^2$?

графика функции $y = x^2$
Осью симметрии фигуры называется такая прямая, что каждая точка фигуры симметрична некоторой другой точке той же фигуры относительно этой прямой.
Для того чтобы найти ось симметрии графика функции, можно проверить функцию на четность. Функция $y = f(x)$ является четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
Рассмотрим функцию $y = x^2$. Обозначим $f(x) = x^2$.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $y = x^2$ является четной. Следовательно, ее график, который представляет собой параболу, симметричен относительно оси $Oy$. Уравнение оси $Oy$ имеет вид $x=0$.
Ответ: осью симметрии графика функции $y = x^2$ является ось ординат ($Oy$), задаваемая уравнением $x=0$.

графика функции $y = -x^2$
Аналогично проанализируем функцию $y = -x^2$. Ее график также является параболой.
Проверим эту функцию на четность. Обозначим $g(x) = -x^2$.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$g(-x) = -(-x)^2 = -(x^2) = -x^2$.
Так как $g(-x) = g(x)$, функция $y = -x^2$ также является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
Ответ: осью симметрии графика функции $y = -x^2$ является ось ординат ($Oy$), задаваемая уравнением $x=0$.

3. Что является вершиной графика функции $y = x^2$? графика функции $y = -x^2$?

Вершина графика функции $y = x^2$

Графиком функции вида $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Координаты ее вершины $(x_0, y_0)$ можно найти с помощью общей формулы. Абсцисса вершины вычисляется как $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а ордината $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в исходное уравнение функции.

Для функции $y = x^2$ мы можем записать ее в виде $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$. Таким образом, коэффициенты равны: $a=1$, $b=0$, $c=0$.

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение:
$y_0 = (0)^2 = 0$.

Таким образом, вершина графика функции $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$, то есть в начале координат.

Ответ: вершиной графика функции $y = x^2$ является точка $(0, 0)$.

Вершина графика функции $y = -x^2$

Аналогично, рассмотрим функцию $y = -x^2$. Ее можно записать в виде $y = -1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$. В этом случае коэффициенты равны: $a=-1$, $b=0$, $c=0$.

Найдем абсциссу вершины по той же формуле:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 0$ в уравнение:
$y_0 = -(0)^2 = 0$.

Таким образом, вершина графика функции $y = -x^2$ также находится в точке $(0, 0)$. Обе параболы имеют общую вершину в начале координат, но ветви первой направлены вверх ($a>0$), а второй — вниз ($a<0$).

Ответ: вершиной графика функции $y = -x^2$ является точка $(0, 0)$.

4. Даны функции $y = x^2$ и $y = -x^2$. Какая из них возрастает при $x \le 0$ и убывает при $x \ge 0$? Какая из них убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$?

Какая из них возрастает при $x \leq 0$ и убывает при $x \geq 0$?

Проанализируем функцию $y = -x^2$.

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Это означает, что слева от вершины (на промежутке $(-\infty, 0]$) функция "поднимается" к своему максимальному значению, а справа от вершины (на промежутке $[0, +\infty)$) "опускается".

Проверим это формально:

1. Рассмотрим промежуток $x \leq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = -(-3)^2 = -9$ и $y_2 = -(-1)^2 = -1$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 < y_2$ (поскольку $-9 < -1$), функция является возрастающей на промежутке $x \leq 0$.

2. Рассмотрим промежуток $x \geq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = -(1)^2 = -1$ и $y_2 = -(3)^2 = -9$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 > y_2$ (поскольку $-1 > -9$), функция является убывающей на промежутке $x \geq 0$.

Альтернативный способ — использование производной. Найдем производную функции $y = -x^2$: $y' = -2x$.
- При $x < 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x > 0$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка экстремума (максимума).

Таким образом, функция $y = -x^2$ возрастает при $x \leq 0$ и убывает при $x \geq 0$.

Ответ: $y = -x^2$.

Какая из них убывает при $x \leq 0$ и возрастает при $x \geq 0$?

Проанализируем функцию $y = x^2$.

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Это означает, что слева от вершины (на промежутке $(-\infty, 0]$) функция "опускается" к своему минимальному значению, а справа от вершины (на промежутке $[0, +\infty)$) "поднимается".

Проверим это формально:

1. Рассмотрим промежуток $x \leq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = (-3)^2 = 9$ и $y_2 = (-1)^2 = 1$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 > y_2$ (поскольку $9 > 1$), функция является убывающей на промежутке $x \leq 0$.

2. Рассмотрим промежуток $x \geq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = 1^2 = 1$ и $y_2 = 3^2 = 9$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 < y_2$ (поскольку $1 < 9$), функция является возрастающей на промежутке $x \geq 0$.

Альтернативный способ — использование производной. Найдем производную функции $y = x^2$: $y' = 2x$.
- При $x < 0$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x > 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка экстремума (минимума).

Таким образом, функция $y = x^2$ убывает при $x \leq 0$ и возрастает при $x \geq 0$.

Ответ: $y = x^2$.

5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков функций $y = x^2$ и $y = -x^2$?

Для того чтобы проанализировать взаимное расположение графиков функций $y = x^2$ и $y = -x^2$, рассмотрим свойства каждой из них и сравним их между собой.

График функции $y = x^2$ представляет собой параболу. Её основные свойства:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
• График расположен в верхней полуплоскости (в I и II координатных четвертях), за исключением вершины, которая лежит на оси Ox.
• Функция является чётной, её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

График функции $y = -x^2$ также является параболой. Её свойства:

• Вершина параболы также находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).
• График расположен в нижней полуплоскости (в III и IV координатных четвертях), за исключением вершины.
• Эта функция также является чётной, и её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Теперь сравним эти два графика. Для любого значения аргумента $x$, ордината (значение $y$) графика функции $y = -x^2$ является противоположной по знаку ординате графика функции $y = x^2$. Например, если взять точку $(2, 4)$ на графике $y=x^2$, то на графике $y=-x^2$ ей будет соответствовать точка $(2, -4)$.

Геометрически это означает, что каждая точка графика $y = -x^2$ может быть получена из соответствующей точки графика $y = x^2$ путем зеркального отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, графики этих двух функций симметричны друг другу относительно оси Ox.

Единственная общая точка у этих двух графиков — это их общая вершина, начало координат $(0, 0)$, так как уравнение $x^2 = -x^2$ (или $2x^2=0$) имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: Графики функций $y = x^2$ и $y = -x^2$ — это две параболы, которые симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox) и пересекаются в одной точке — начале координат.

6. Дана функция $y = x^2$. Придумайте линейную функцию $y = kx + m$ такую, что графики обеих функций:

а) не пересекаются;

б) пересекаются в двух точках;

в) имеют одну общую точку.

Точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = kx + m$ являются решениями системы уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = kx + m \end{cases} $

Приравняв правые части уравнений, получим квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 = kx + m$

$x^2 - kx - m = 0$

Количество точек пересечения графиков зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения, которое, в свою очередь, определяется знаком его дискриминанта $D$.

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = k^2 + 4m$

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и графики пересекаются в двух точках.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, и графики имеют одну общую точку (касаются).

а) не пересекаются

В этом случае дискриминант должен быть отрицательным: $k^2 + 4m < 0$. Нужно подобрать такие значения $k$ и $m$, чтобы это неравенство выполнялось. Возьмем, к примеру, $k = 0$. Тогда неравенство примет вид: $0^2 + 4m < 0$, или $4m < 0$, откуда $m < 0$. Выберем любое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, например, $m = -1$. Таким образом, получаем линейную функцию $y = 0 \cdot x - 1$, то есть $y = -1$. Для этой функции уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней, значит, графики не пересекаются.

Ответ: $y = -1$.

б) пересекаются в двух точках

В этом случае дискриминант должен быть положительным: $k^2 + 4m > 0$. Возьмем, к примеру, $k = 0$. Тогда неравенство примет вид: $0^2 + 4m > 0$, или $4m > 0$, откуда $m > 0$. Выберем любое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, например, $m = 1$. Получаем линейную функцию $y = 0 \cdot x + 1$, то есть $y = 1$. Для этой функции уравнение $x^2 = 1$ имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Это означает, что графики пересекаются в двух точках: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: $y = 1$.

в) имеют одну общую точку

В этом случае дискриминант должен быть равен нулю: $k^2 + 4m = 0$. Возьмем, к примеру, $k = 2$. Тогда уравнение примет вид: $2^2 + 4m = 0$, или $4 + 4m = 0$, откуда $4m = -4$ и $m = -1$. Получаем линейную функцию $y = 2x - 1$. Для этой функции уравнение $x^2 = 2x - 1$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$, или $(x-1)^2 = 0$. Оно имеет один корень $x=1$. Это означает, что графики имеют одну общую точку касания $(1; 1)$. Другой, более простой пример: если взять $k = 0$, то из $k^2 + 4m = 0$ следует, что $m=0$. Тогда линейная функция $y=0$. Уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$.

Ответ: $y = 2x - 1$ (или, например, $y=0$).

7. Дана функция $y = -x^2$. Придумайте линейную функцию $y = kx + m$ такую, что графики обеих функций:

а) не пересекаются;

б) пересекаются в двух точках;

в) имеют одну общую точку.

Для того чтобы определить количество точек пересечения графиков параболы $y = -x^2$ и прямой $y = kx + m$, необходимо найти количество решений системы уравнений:
$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = kx + m \end{cases}$
Приравнивая правые части уравнений, получаем:
$-x^2 = kx + m$
Перенеся все слагаемые в одну сторону, мы получим стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + kx + m = 0$
Количество действительных корней этого уравнения, а следовательно, и количество точек пересечения графиков, зависит от знака дискриминанта $D = k^2 - 4m$.

а) не пересекаются;
Графики функций не пересекаются, если соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант меньше нуля:
$D < 0 \implies k^2 - 4m < 0 \implies k^2 < 4m$
Нам нужно придумать такие числа $k$ и $m$, которые удовлетворяют этому неравенству. Возьмем, к примеру, $k=0$. Тогда неравенство упрощается до $0 < 4m$, что означает $m > 0$.
Пусть $m = 1$. Тогда линейная функция имеет вид $y = 0 \cdot x + 1$, или $y = 1$.
При этих значениях уравнение для нахождения точек пересечения будет $x^2 + 1 = 0$, которое не имеет действительных корней. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=1$ не пересекаются.
Ответ: $y = 1$.

б) пересекаются в двух точках;
Графики функций пересекаются в двух различных точках, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант больше нуля:
$D > 0 \implies k^2 - 4m > 0 \implies k^2 > 4m$
Подберем подходящие значения $k$ и $m$. Возьмем, к примеру, $k=0$. Тогда неравенство упрощается до $0 > 4m$, что означает $m < 0$.
Пусть $m = -1$. Тогда линейная функция имеет вид $y = 0 \cdot x - 1$, или $y = -1$.
При этих значениях уравнение для нахождения точек пересечения будет $x^2 - 1 = 0$, которое имеет два корня: $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=-1$ пересекаются в двух точках.
Ответ: $y = -1$.

в) имеют одну общую точку.
Графики функций имеют одну общую точку (касаются), если квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
$D = 0 \implies k^2 - 4m = 0 \implies k^2 = 4m$
Подберем значения $k$ и $m$, удовлетворяющие этому равенству. Возьмем самый простой случай: $k=0$. Тогда $0^2 = 4m$, откуда следует, что $m=0$.
Линейная функция в этом случае имеет вид $y = 0 \cdot x + 0$, или $y = 0$.
При этих значениях уравнение для нахождения точки пересечения будет $x^2 = 0$, которое имеет один корень $x=0$. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=0$ имеют одну общую точку касания в вершине параболы (0, 0).
Ответ: $y = 0$.

44.17 а) На рис. 49;

б) на рис. 50;

в) на рис. 51;

г) на рис. 52.

Рис. 49

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на заданном отрезке:

а) На рис. 49 сплошной линией выделена часть графика на отрезке $x \in [-2; 3]$. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на этом отрезке.
График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку вершина параболы, точка $x=0$, принадлежит отрезку $[-2; 3]$, то наименьшее значение функция принимает именно в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.
Наибольшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^2 = 4$
$y(3) = 3^2 = 9$
Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно 9.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $9$.

б) На рис. 50 сплошной линией выделена часть графика на отрезке $x \in [-3; 2]$. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на этом отрезке.
Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку $[-3; 2]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине:
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.
Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-3) = (-3)^2 = 9$
$y(2) = 2^2 = 4$
Наибольшее из этих значений равно 9.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $9$.

в) На рис. 51 сплошной линией выделена часть графика на отрезке $x \in [1; 3]$. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на этом отрезке.
Вершина параболы $y = x^2$ (точка $x=0$) не принадлежит отрезку $[1; 3]$. На данном отрезке (при $x > 0$) функция $y = x^2$ является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
$y_{наим} = y(1) = 1^2 = 1$
$y_{наиб} = y(3) = 3^2 = 9$
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $9$.

г) На рис. 52 сплошной линией выделена часть графика на отрезке $x \in [-2; -1]$. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$ на этом отрезке.
Вершина параболы $y = x^2$ (точка $x=0$) не принадлежит отрезку $[-2; -1]$. На данном отрезке (при $x < 0$) функция $y = x^2$ является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
$y_{наиб} = y(-2) = (-2)^2 = 4$
$y_{наим} = y(-1) = (-1)^2 = 1$
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4$.

44.18 а) $[1; 2];$

б) $[-2; -1];$

в) $[0; 1];$

г) $[-3; 0].$

Для решения всех пунктов задачи необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ на заданных отрезках.Сначала найдем производную функции, чтобы определить ее критические точки. Используем правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x^2+8}{x+1}\right)' = \frac{(x^2+8)'(x+1) - (x^2+8)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - (x^2+8)\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-x^2-8}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x=-1$, но эта точка не входит в область определения функции.Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies x^2+2x-8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.Теперь проанализируем каждый отрезок.

а) [1; 2]

Функция $y(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 2]$.

Из критических точек ($2$ и $-4$) в данный отрезок попадает только точка $x=2$, которая является его концом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(1) = \frac{1^2+8}{1+1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

$y(2) = \frac{2^2+8}{2+1} = \frac{4+8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Сравнивая эти два значения, получаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно $4.5$, а наименьшее — $4$.

Ответ: наибольшее значение $4.5$, наименьшее значение $4$.

б) [-2; -1]

Функция $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ не определена в точке $x=-1$, которая является правым концом заданного отрезка. Таким образом, нельзя говорить о значениях функции на всем отрезке $[-2; -1]$.

Рассмотрим поведение функции на полуинтервале $[-2; -1)$. На этом промежутке функция непрерывна.

Критические точки $x=2$ и $x=-4$ не принадлежат интервалу $(-2; -1)$.

Определим знак производной $y' = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$ на этом интервале. Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен. Числитель $x^2+2x-8 = (x-2)(x+4)$. Для любого $x$ из интервала $(-2; -1)$, множитель $(x-2)$ отрицателен, а множитель $(x+4)$ положителен. Следовательно, числитель отрицателен, и $y' < 0$. Это значит, что функция убывает на $[-2; -1)$.

Таким образом, наибольшее значение достигается в левой точке отрезка:

$y_{наиб} = y(-2) = \frac{(-2)^2+8}{-2+1} = \frac{4+8}{-1} = -12$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим предел функции при $x \to -1$ слева:

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+8}{x+1} = -\infty$, так как числитель стремится к $9$, а знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным.

Так как функция стремится к минус бесконечности, она не ограничена снизу на данном промежутке, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение $-12$, наименьшего значения не существует.

в) [0; 1]

Функция $y(x)$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$.

Критические точки $x=2$ и $x=-4$ не принадлежат этому отрезку. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$y(0) = \frac{0^2+8}{0+1} = \frac{8}{1} = 8$.

$y(1) = \frac{1^2+8}{1+1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $8$, а наименьшее — $4.5$.

Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее значение $4.5$.

г) [-3; 0]

Функция $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ имеет разрыв в точке $x=-1$, которая находится внутри отрезка $[-3; 0]$. В этой точке находится вертикальная асимптота.

Рассмотрим поведение функции вблизи точки разрыва:

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+8}{x+1} = -\infty$ (при подходе к $-1$ слева, например, $x=-1.001$).

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+8}{x+1} = +\infty$ (при подходе к $-1$ справа, например, $x=-0.999$).

Поскольку на отрезке $[-3; 0]$ значения функции стремятся как к $+\infty$, так и к $-\infty$, функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

Следовательно, на данном отрезке функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.

44.19 а) $ [-1; 1] $;

б) $ [-2; 3] $;

в) $ [-3; 2] $;

г) $ [-1; 3] $.

а) Задан числовой промежуток, который является отрезком $[-1; 1]$. Необходимо найти все целые числа, принадлежащие этому отрезку. Это означает, что мы ищем все целые числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-1 \le x \le 1$. Такими целыми числами являются: -1, 0, 1.

Ответ: -1, 0, 1.

б) Задан числовой отрезок $[-2; 3]$. Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $-2 \le x \le 3$. Перечислим все такие целые числа в порядке возрастания: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

в) Дан отрезок $[-3; 2]$. Требуется указать все целые числа, которые находятся на этом отрезке. Это все целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $-3 \le x \le 2$. Такими числами являются: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

г) Рассматривается отрезок $[-1; 3]$. Мы должны найти все целые числа, входящие в этот промежуток. Это целые числа $x$, для которых справедливо неравенство $-1 \le x \le 3$. В данный промежуток входят следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.