Номер 4, страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Даны функции $y = x^2$ и $y = -x^2$. Какая из них возрастает при $x \le 0$ и убывает при $x \ge 0$? Какая из них убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$?

Какая из них возрастает при $x \leq 0$ и убывает при $x \geq 0$?

Проанализируем функцию $y = -x^2$.

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Это означает, что слева от вершины (на промежутке $(-\infty, 0]$) функция "поднимается" к своему максимальному значению, а справа от вершины (на промежутке $[0, +\infty)$) "опускается".

Проверим это формально:

1. Рассмотрим промежуток $x \leq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = -(-3)^2 = -9$ и $y_2 = -(-1)^2 = -1$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 < y_2$ (поскольку $-9 < -1$), функция является возрастающей на промежутке $x \leq 0$.

2. Рассмотрим промежуток $x \geq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = -(1)^2 = -1$ и $y_2 = -(3)^2 = -9$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 > y_2$ (поскольку $-1 > -9$), функция является убывающей на промежутке $x \geq 0$.

Альтернативный способ — использование производной. Найдем производную функции $y = -x^2$: $y' = -2x$.
- При $x < 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x > 0$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка экстремума (максимума).

Таким образом, функция $y = -x^2$ возрастает при $x \leq 0$ и убывает при $x \geq 0$.

Ответ: $y = -x^2$.

Какая из них убывает при $x \leq 0$ и возрастает при $x \geq 0$?

Проанализируем функцию $y = x^2$.

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Это означает, что слева от вершины (на промежутке $(-\infty, 0]$) функция "опускается" к своему минимальному значению, а справа от вершины (на промежутке $[0, +\infty)$) "поднимается".

Проверим это формально:

1. Рассмотрим промежуток $x \leq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = (-3)^2 = 9$ и $y_2 = (-1)^2 = 1$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 > y_2$ (поскольку $9 > 1$), функция является убывающей на промежутке $x \leq 0$.

2. Рассмотрим промежуток $x \geq 0$. Возьмем два значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = 1^2 = 1$ и $y_2 = 3^2 = 9$.
Так как $x_1 < x_2$ и $y_1 < y_2$ (поскольку $1 < 9$), функция является возрастающей на промежутке $x \geq 0$.

Альтернативный способ — использование производной. Найдем производную функции $y = x^2$: $y' = 2x$.
- При $x < 0$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x > 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка экстремума (минимума).

Таким образом, функция $y = x^2$ убывает при $x \leq 0$ и возрастает при $x \geq 0$.

Ответ: $y = x^2$.