Номер 3, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 43. Среднее значение и дисперсия. Темы исследовательских работ - номер 3, страница 187.

Условие.

3. Различные применения метода разложения на множители.

Решение 1.

Решение 8.

Метод разложения на множители — это фундаментальный приём в математике, который заключается в представлении исходного выражения (числа, многочлена и т.д.) в виде произведения более простых сомножителей. Это преобразование не меняет само выражение, а лишь его форму, что часто позволяет значительно упростить решение задачи. Рассмотрим различные области применения этого метода.

1. Решение уравнений

Это одно из самых частых применений метода. Если уравнение можно привести к виду $f(x) = 0$, то, разложив выражение $f(x)$ на множители, например, $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, мы можем свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений: $g(x) = 0$ или $h(x) = 0$. Это основано на свойстве произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ко второму множителю:

$(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Ответ: Корни уравнения: $-3, -2, 3$.

2. Упрощение алгебраических дробей

При работе с рациональными выражениями (дробями, где числитель и знаменатель — многочлены) разложение на множители позволяет сокращать дроби, приводя их к более простому виду. Это полезно как для упрощения выражений, так и при выполнении сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Знаменатель — квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Тогда:

$x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 3)(x - 2)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$, при условии, что $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+3}$ при $x \neq 2$.

3. Доказательство неравенств и тождеств

Разложение на множители может помочь выявить структуру выражения и доказать, что оно всегда положительно, отрицательно или равно другому выражению. Особенно часто это применяется при работе с выражениями, которые можно представить в виде полных квадратов.

Пример: Доказать, что при любых действительных значениях $x$ и $y$ выполняется неравенство $x^2 - 6xy + 10y^2 \ge 0$.

Представим $10y^2$ как $9y^2 + y^2$:

$x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 \ge 0$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности $(x - 3y)^2$:

$(x^2 - 6xy + (3y)^2) + y^2 = (x - 3y)^2 + y^2$

Получили выражение $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 3y)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно эквивалентно верному неравенству $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

4. Решение уравнений в целых числах (диофантовых уравнений)

Если требуется найти целочисленные решения уравнения, метод разложения на множители позволяет свести задачу к перебору делителей целого числа.

Пример: Найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $xy - 5x + 2y = 14$.

Применим метод группировки. Для этого добавим и вычтем число, которое позволит "дополнить" выражение до произведения скобок.

$x(y-5) + 2y = 14$

Мы хотим вынести множитель $(y-5)$. Для этого нам нужен член $-10$ рядом с $2y$.

$x(y-5) + 2y - 10 = 14 - 10$

$x(y-5) + 2(y-5) = 4$

Теперь выносим общий множитель $(y-5)$:

$(x+2)(y-5) = 4$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x+2)$ и $(y-5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 4. Следовательно, они являются парами делителей числа 4. Возможные пары:

• $x+2=1, y-5=4 \implies x=-1, y=9$
• $x+2=4, y-5=1 \implies x=2, y=6$
• $x+2=-1, y-5=-4 \implies x=-3, y=1$
• $x+2=-4, y-5=-1 \implies x=-6, y=4$
• $x+2=2, y-5=2 \implies x=0, y=7$
• $x+2=-2, y-5=-2 \implies x=-4, y=3$

Ответ: Целочисленные решения $(x, y)$: $(-1, 9), (2, 6), (-3, 1), (-6, 4), (0, 7), (-4, 3)$.

5. Нахождение области определения функции и решение неравенств

При нахождении области определения функций, содержащих дроби или корни, часто приходится решать неравенства. Метод разложения на множители является основой для метода интервалов.

Пример: Найти область определения функции $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x^2 + 5x - 3 \ge 0$

Разложим левую часть на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Тогда неравенство принимает вид:

$2(x - 0.5)(x + 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни $-3$ и $0.5$ делят числовую ось на три интервала. Определив знаки на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.