Номер 3, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04640-0

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Темы исследовательских работ. Параграф 43. Среднее значение и дисперсия. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 1 - номер 3, страница 187.

№3 (с. 187)
Условие. №3 (с. 187)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 187, номер 3, Условие

3. Различные применения метода разложения на множители.

Решение 1. №3 (с. 187)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 187, номер 3, Решение 1
Решение 8. №3 (с. 187)

Метод разложения на множители — это фундаментальный приём в математике, который заключается в представлении исходного выражения (числа, многочлена и т.д.) в виде произведения более простых сомножителей. Это преобразование не меняет само выражение, а лишь его форму, что часто позволяет значительно упростить решение задачи. Рассмотрим различные области применения этого метода.

1. Решение уравнений

Это одно из самых частых применений метода. Если уравнение можно привести к виду $f(x) = 0$, то, разложив выражение $f(x)$ на множители, например, $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, мы можем свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений: $g(x) = 0$ или $h(x) = 0$. Это основано на свойстве произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ко второму множителю:

$(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Ответ: Корни уравнения: $-3, -2, 3$.

2. Упрощение алгебраических дробей

При работе с рациональными выражениями (дробями, где числитель и знаменатель — многочлены) разложение на множители позволяет сокращать дроби, приводя их к более простому виду. Это полезно как для упрощения выражений, так и при выполнении сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Знаменатель — квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Тогда:

$x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 3)(x - 2)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$, при условии, что $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+3}$ при $x \neq 2$.

3. Доказательство неравенств и тождеств

Разложение на множители может помочь выявить структуру выражения и доказать, что оно всегда положительно, отрицательно или равно другому выражению. Особенно часто это применяется при работе с выражениями, которые можно представить в виде полных квадратов.

Пример: Доказать, что при любых действительных значениях $x$ и $y$ выполняется неравенство $x^2 - 6xy + 10y^2 \ge 0$.

Представим $10y^2$ как $9y^2 + y^2$:

$x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 \ge 0$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности $(x - 3y)^2$:

$(x^2 - 6xy + (3y)^2) + y^2 = (x - 3y)^2 + y^2$

Получили выражение $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 3y)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно эквивалентно верному неравенству $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

4. Решение уравнений в целых числах (диофантовых уравнений)

Если требуется найти целочисленные решения уравнения, метод разложения на множители позволяет свести задачу к перебору делителей целого числа.

Пример: Найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $xy - 5x + 2y = 14$.

Применим метод группировки. Для этого добавим и вычтем число, которое позволит "дополнить" выражение до произведения скобок.

$x(y-5) + 2y = 14$

Мы хотим вынести множитель $(y-5)$. Для этого нам нужен член $-10$ рядом с $2y$.

$x(y-5) + 2y - 10 = 14 - 10$

$x(y-5) + 2(y-5) = 4$

Теперь выносим общий множитель $(y-5)$:

$(x+2)(y-5) = 4$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x+2)$ и $(y-5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 4. Следовательно, они являются парами делителей числа 4. Возможные пары:

  • $x+2=1, y-5=4 \implies x=-1, y=9$
  • $x+2=4, y-5=1 \implies x=2, y=6$
  • $x+2=-1, y-5=-4 \implies x=-3, y=1$
  • $x+2=-4, y-5=-1 \implies x=-6, y=4$
  • $x+2=2, y-5=2 \implies x=0, y=7$
  • $x+2=-2, y-5=-2 \implies x=-4, y=3$

Ответ: Целочисленные решения $(x, y)$: $(-1, 9), (2, 6), (-3, 1), (-6, 4), (0, 7), (-4, 3)$.

5. Нахождение области определения функции и решение неравенств

При нахождении области определения функций, содержащих дроби или корни, часто приходится решать неравенства. Метод разложения на множители является основой для метода интервалов.

Пример: Найти область определения функции $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x^2 + 5x - 3 \ge 0$

Разложим левую часть на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Тогда неравенство принимает вид:

$2(x - 0.5)(x + 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни $-3$ и $0.5$ делят числовую ось на три интервала. Определив знаки на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 187 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 187), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Мнемозина.