Номер 8, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8. По определению дисперсия равна

$\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$.

Проверьте, что если дисперсия равна нулю, то $x_1 = x_2 = = x_{3} = \dots = x_{n-1} = x_{n} = \bar{x}$.

Для доказательства воспользуемся определением дисперсии, которое приведено в условии задачи: $D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

По условию, дисперсия равна нулю, то есть $D = 0$. Подставим это значение в формулу: $\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n} = 0$

Знаменатель дроби $n$ — это количество элементов в выборке, и по определению $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Следовательно, мы можем записать: $(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой сумму слагаемых вида $(x_i - \bar{x})^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то каждое слагаемое в этой сумме больше или равно нулю: $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$ для всех $i$ от 1 до $n$.

Сумма нескольких неотрицательных чисел может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из этих чисел равно нулю. Это означает, что для каждого слагаемого в сумме должно выполняться равенство: $(x_i - \bar{x})^2 = 0$ для всех $i = 1, 2, ..., n$.

Если квадрат числа равен нулю, то и само число равно нулю. Отсюда следует: $x_i - \bar{x} = 0$

Перенося среднее значение $\bar{x}$ в правую часть, получаем: $x_i = \bar{x}$ для всех $i = 1, 2, ..., n$.

Это означает, что каждый элемент выборки ($x_1, x_2, ..., x_n$) равен среднему арифметическому этой выборки, а следовательно, все элементы выборки равны между собой. $x_1 = x_2 = x_3 = ... = x_{n-1} = x_n = \bar{x}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если дисперсия равна нулю, то сумма квадратов отклонений от среднего значения равна нулю. Поскольку каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно (является квадратом), то каждое из них должно быть равно нулю. Это, в свою очередь, означает, что каждый элемент выборки равен среднему значению, т.е. $x_1 = x_2 = ... = x_n = \bar{x}$.