Номер 4, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Среднее арифметическое числовых данных. Дисперсия числовых данных.

Среднее арифметическое числовых данных

Среднее арифметическое (часто называемое просто "средним") является одной из ключевых мер центральной тенденции в статистике. Оно представляет собой значение, которое обобщает весь набор числовых данных, указывая на его "центр тяжести". Иными словами, это число, которое лучше всего характеризует совокупность данных одним значением.

Для вычисления среднего арифметического необходимо выполнить два простых шага:
1. Сложить все числа (значения) в рассматриваемом наборе данных.
2. Разделить полученную сумму на общее количество этих чисел.

Математически это выражается следующей формулой. Для набора данных, состоящего из $n$ элементов $x_1, x_2, \dots, x_n$, среднее арифметическое, которое обычно обозначается как $\bar{x}$ (читается "икс с чертой"), вычисляется так: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i $$

Пример:
Предположим, у нас есть набор данных о количестве осадков (в мм) за 5 дней: 10, 5, 0, 8, 12.
1. Найдем сумму всех значений: $10 + 5 + 0 + 8 + 12 = 35$.
2. Посчитаем количество значений в наборе: их 5.
3. Разделим сумму на количество: $\bar{x} = \frac{35}{5} = 7$.
Таким образом, среднее количество осадков за эти 5 дней составляет 7 мм.

Важно отметить, что среднее арифметическое чувствительно к "выбросам" — аномально большим или малым значениям в наборе, которые могут значительно исказить представление о "типичном" значении.

Ответ: Среднее арифметическое — это число, равное сумме всех значений в наборе данных, деленной на их количество. Оно служит мерой центрального положения данных и вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$.

Дисперсия числовых данных

Дисперсия — это статистическая мера, которая показывает, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны относительно их среднего арифметического. Она является мерой изменчивости или вариации данных.

• Если дисперсия мала (близка к нулю), это означает, что все значения в наборе данных сгруппированы очень близко к среднему арифметическому.
• Если дисперсия велика, это указывает на то, что значения сильно разбросаны и находятся на значительном удалении от среднего.

Дисперсия определяется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения данных от их общего среднего. Возведение в квадрат необходимо для того, чтобы отклонения в большую и меньшую сторону не компенсировали друг друга (сумма отклонений от среднего всегда равна нулю), и чтобы большие отклонения имели больший "вес".

Алгоритм расчета дисперсии:
1. Вычислить среднее арифметическое ($\bar{x}$) набора данных.
2. Для каждого значения $x_i$ найти его отклонение от среднего: $(x_i - \bar{x})$.
3. Каждое полученное отклонение возвести в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$.
4. Сложить все полученные квадраты отклонений.
5. Разделить полученную сумму на количество значений ($n$).

Формула для расчета дисперсии (обозначается как $D$ или $\sigma^2$): $$ D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} $$

Пример:
Рассчитаем дисперсию для того же набора данных об осадках: 10, 5, 0, 8, 12.
1. Среднее арифметическое мы уже знаем: $\bar{x} = 7$.
2. Найдем квадраты отклонений для каждого значения:
$(10 - 7)^2 = 3^2 = 9$
$(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4$
$(0 - 7)^2 = (-7)^2 = 49$
$(8 - 7)^2 = 1^2 = 1$
$(12 - 7)^2 = 5^2 = 25$
3. Найдем сумму квадратов отклонений: $9 + 4 + 49 + 1 + 25 = 88$.
4. Разделим сумму на количество значений (5): $D = \frac{88}{5} = 17.6$.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах исходных данных (в нашем примере — мм²), что не всегда интуитивно понятно. Поэтому часто используют стандартное отклонение $\sigma$ — квадратный корень из дисперсии ($\sigma = \sqrt{D}$), которое измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Ответ: Дисперсия — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего арифметического, вычисляемая как среднее арифметическое квадратов отклонений. Формула: $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.