Номер 7, страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Дана функция $y = -x^2$. Придумайте линейную функцию $y = kx + m$ такую, что графики обеих функций:

а) не пересекаются;

б) пересекаются в двух точках;

в) имеют одну общую точку.

Для того чтобы определить количество точек пересечения графиков параболы $y = -x^2$ и прямой $y = kx + m$, необходимо найти количество решений системы уравнений:
$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = kx + m \end{cases}$
Приравнивая правые части уравнений, получаем:
$-x^2 = kx + m$
Перенеся все слагаемые в одну сторону, мы получим стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + kx + m = 0$
Количество действительных корней этого уравнения, а следовательно, и количество точек пересечения графиков, зависит от знака дискриминанта $D = k^2 - 4m$.

а) не пересекаются;
Графики функций не пересекаются, если соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант меньше нуля:
$D < 0 \implies k^2 - 4m < 0 \implies k^2 < 4m$
Нам нужно придумать такие числа $k$ и $m$, которые удовлетворяют этому неравенству. Возьмем, к примеру, $k=0$. Тогда неравенство упрощается до $0 < 4m$, что означает $m > 0$.
Пусть $m = 1$. Тогда линейная функция имеет вид $y = 0 \cdot x + 1$, или $y = 1$.
При этих значениях уравнение для нахождения точек пересечения будет $x^2 + 1 = 0$, которое не имеет действительных корней. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=1$ не пересекаются.
Ответ: $y = 1$.

б) пересекаются в двух точках;
Графики функций пересекаются в двух различных точках, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант больше нуля:
$D > 0 \implies k^2 - 4m > 0 \implies k^2 > 4m$
Подберем подходящие значения $k$ и $m$. Возьмем, к примеру, $k=0$. Тогда неравенство упрощается до $0 > 4m$, что означает $m < 0$.
Пусть $m = -1$. Тогда линейная функция имеет вид $y = 0 \cdot x - 1$, или $y = -1$.
При этих значениях уравнение для нахождения точек пересечения будет $x^2 - 1 = 0$, которое имеет два корня: $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=-1$ пересекаются в двух точках.
Ответ: $y = -1$.

в) имеют одну общую точку.
Графики функций имеют одну общую точку (касаются), если квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
$D = 0 \implies k^2 - 4m = 0 \implies k^2 = 4m$
Подберем значения $k$ и $m$, удовлетворяющие этому равенству. Возьмем самый простой случай: $k=0$. Тогда $0^2 = 4m$, откуда следует, что $m=0$.
Линейная функция в этом случае имеет вид $y = 0 \cdot x + 0$, или $y = 0$.
При этих значениях уравнение для нахождения точки пересечения будет $x^2 = 0$, которое имеет один корень $x=0$. Следовательно, графики $y=-x^2$ и $y=0$ имеют одну общую точку касания в вершине параболы (0, 0).
Ответ: $y = 0$.