Номер 3, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Нашли точки пересечения графиков.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, заданных уравнениями $y = f(x)$ и $y = g(x)$, необходимо решить систему этих уравнений. Поскольку в обеих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части и решить полученное уравнение $f(x) = g(x)$ относительно $x$. Найденные значения $x$ будут абсциссами точек пересечения. Для нахождения ординат ($y$) этих точек, нужно подставить полученные значения $x$ в уравнение любой из исходных функций.

Рассмотрим на примерах.

а) Найти точки пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = -x + 9$

1. Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$2x + 3 = -x + 9$

2. Решаем полученное линейное уравнение:

$2x + x = 9 - 3$

$3x = 6$

$x = 2$

3. Теперь находим ординату, подставив $x=2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 2 \cdot (2) + 3 = 4 + 3 = 7$

Для проверки подставим во второе: $y = -(2) + 9 = 7$. Результаты совпадают.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке с координатами $(2, 7)$.

Ответ: $(2, 7)$.

б) Найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = x + 4$

1. Приравниваем правые части уравнений:

$x^2 - 4x + 4 = x + 4$

2. Решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - x + 4 - 4 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x_2 - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$.

3. Находим соответствующие ординаты для каждого значения $x$. Проще подставить в уравнение прямой $y = x + 4$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 0 + 4 = 4$. Первая точка пересечения: $(0, 4)$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = 5 + 4 = 9$. Вторая точка пересечения: $(5, 9)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: $(0, 4)$ и $(5, 9)$.

в) Найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = 8 - x$

1. Приравниваем правые части уравнений, учитывая, что $x \neq 0$ (область определения функции $y=12/x$):

$\frac{12}{x} = 8 - x$

2. Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$12 = x(8 - x)$

$12 = 8x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

3. Находим соответствующие ординаты:

При $x_1 = 2$: $y_1 = 8 - 2 = 6$. Первая точка пересечения: $(2, 6)$.

При $x_2 = 6$: $y_2 = 8 - 6 = 2$. Вторая точка пересечения: $(6, 2)$.

Таким образом, гипербола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: $(2, 6)$ и $(6, 2)$.