Страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Фактически мы использовали следующий алгоритм.

1. Ввели в рассмотрение функции $y = x^2$, $y = x + 2$ (для другого уравнения будут, разумеется, иные функции).

Текст на изображении является первым шагом графического метода решения уравнения. Уравнение, о котором идет речь, получается приравниванием правых частей заданных функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Таким образом, мы решаем уравнение: $x^2 = x + 2$.

Это уравнение можно решить двумя основными способами: алгебраическим и графическим.

1. Алгебраическое решение

Для решения уравнения $x^2 = x + 2$ приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Теперь можно найти корни. Сделаем это двумя способами.

а) Через дискриминант

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

б) По теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ (у нас $p = -1$, $q = -2$) справедливы соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -2$
Подбором находим два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Этими числами являются 2 и -1.
$2 + (-1) = 1$
$2 \cdot (-1) = -2$
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

2. Графическое решение

Этот метод, предложенный в тексте, заключается в построении графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и нахождении абсцисс (координат $x$) точек их пересечения.

Строим графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$ в одной системе координат.

График функции $y = x^2$

Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат (0, 0). Для построения возьмем несколько точек:
- при $x=0, y=0$
- при $x=1, y=1$
- при $x=-1, y=1$
- при $x=2, y=4$
- при $x=-2, y=4$

График функции $y = x + 2$

Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:
- при $x=0, y=2$ (точка пересечения с осью OY)
- при $y=0, x=-2$ (точка пересечения с осью OX)

Нахождение решения

Начертив оба графика, мы ищем точки их пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику:

Первая точка пересечения: $(-1, 1)$
Вторая точка пересечения: $(2, 4)

Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения $x^2 = x + 2$.

Проверим, действительно ли эти точки принадлежат обоим графикам:
Для точки $(-1, 1)$:
$y = x^2 \Rightarrow 1 = (-1)^2 \Rightarrow 1 = 1$ (верно)
$y = x + 2 \Rightarrow 1 = -1 + 2 \Rightarrow 1 = 1$ (верно)

Для точки $(2, 4)$:
$y = x^2 \Rightarrow 4 = 2^2 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)
$y = x + 2 \Rightarrow 4 = 2 + 2 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)

Координаты найдены верно. Абсциссы (значения $x$) этих точек являются корнями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

2. Построили в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = x + 2$.

Для решения задачи необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: параболы $y=x^2$ и прямой $y=x+2$, а также найти их точки пересечения аналитически.

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция. Её графиком является парабола. Для её построения определим ключевые характеристики и точки:

• Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.
• Парабола симметрична относительно оси ординат ($Oy$).

Чтобы построить график более точно, составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график параболы.

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$ и т.д.

Функция $y = x + 2$ — это линейная функция. Её графиком является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.

Удобнее всего найти точки пересечения прямой с осями координат:

• Чтобы найти точку пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$: $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
• Чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$, подставим $y = 0$: $0 = x + 2$, откуда $x = -2$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Отмечаем точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$ на той же координатной плоскости и проводим через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции $y=x+2$ является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы ($x$) точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив эти значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x + 2$.

• При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 + 2 = 4$. Первая точка пересечения — $(2, 4)$.
• При $x_2 = -1$, $y_2 = -1 + 2 = 1$. Вторая точка пересечения — $(-1, 1)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: Графики функций пересекаются в двух точках: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

3. Нашли точки пересечения графиков.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, заданных уравнениями $y = f(x)$ и $y = g(x)$, необходимо решить систему этих уравнений. Поскольку в обеих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части и решить полученное уравнение $f(x) = g(x)$ относительно $x$. Найденные значения $x$ будут абсциссами точек пересечения. Для нахождения ординат ($y$) этих точек, нужно подставить полученные значения $x$ в уравнение любой из исходных функций.

Рассмотрим на примерах.

а) Найти точки пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = -x + 9$

1. Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$2x + 3 = -x + 9$

2. Решаем полученное линейное уравнение:

$2x + x = 9 - 3$

$3x = 6$

$x = 2$

3. Теперь находим ординату, подставив $x=2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 2 \cdot (2) + 3 = 4 + 3 = 7$

Для проверки подставим во второе: $y = -(2) + 9 = 7$. Результаты совпадают.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке с координатами $(2, 7)$.

Ответ: $(2, 7)$.

б) Найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = x + 4$

1. Приравниваем правые части уравнений:

$x^2 - 4x + 4 = x + 4$

2. Решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - x + 4 - 4 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x_2 - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$.

3. Находим соответствующие ординаты для каждого значения $x$. Проще подставить в уравнение прямой $y = x + 4$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 0 + 4 = 4$. Первая точка пересечения: $(0, 4)$.

При $x_2 = 5$: $y_2 = 5 + 4 = 9$. Вторая точка пересечения: $(5, 9)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: $(0, 4)$ и $(5, 9)$.

в) Найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = 8 - x$

1. Приравниваем правые части уравнений, учитывая, что $x \neq 0$ (область определения функции $y=12/x$):

$\frac{12}{x} = 8 - x$

2. Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$12 = x(8 - x)$

$12 = 8x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

3. Находим соответствующие ординаты:

При $x_1 = 2$: $y_1 = 8 - 2 = 6$. Первая точка пересечения: $(2, 6)$.

При $x_2 = 6$: $y_2 = 8 - 6 = 2$. Вторая точка пересечения: $(6, 2)$.

Таким образом, гипербола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: $(2, 6)$ и $(6, 2)$.

4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни уравнения.

Данное утверждение описывает суть графического метода решения уравнений. Этот метод заключается в том, чтобы найти решения (корни) уравнения путём построения и анализа графиков соответствующих функций.

Рассмотрим общее уравнение вида $f(x) = g(x)$. Чтобы решить его графически, вводят две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Затем в одной системе координат строят графики этих двух функций.

Точка пересечения графиков — это точка, которая принадлежит одновременно обоим графикам. Пусть $(x_0, y_0)$ является точкой пересечения.

Поскольку точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике функции $y = f(x)$, её координаты удовлетворяют уравнению этой функции, то есть, должно выполняться равенство $y_0 = f(x_0)$.

Аналогично, поскольку эта же точка лежит на графике функции $y = g(x)$, её координаты удовлетворяют и второму уравнению: $y_0 = g(x_0)$.

Так как левые части обоих равенств равны ($y_0$), то должны быть равны и их правые части: $f(x_0) = g(x_0)$.

Это равенство показывает, что значение $x = x_0$ является решением (корнем) исходного уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, абсцисса (координата $x$) любой точки пересечения графиков является корнем уравнения.

Справедливо и обратное: если $x_k$ — это корень уравнения $f(x)=g(x)$, то $f(x_k)=g(x_k)$. Обозначив это значение как $y_k$, мы получаем точку $(x_k, y_k)$, которая принадлежит обоим графикам, а значит, является их точкой пересечения.

Рассмотрим пример: решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$ графическим методом.

Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$, перенеся часть слагаемых в правую часть: $x^2 = 2x + 3$.

Теперь построим графики двух функций: $y = x^2$ (парабола, ветви вверх, вершина в начале координат) и $y = 2x + 3$ (прямая линия).

Нам нужно найти абсциссы точек, в которых эти два графика пересекаются. Для проверки найдем эти точки аналитически, решив уравнение $x^2 = 2x + 3$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют числа $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Итак, мы нашли корни уравнения. Это и есть абсциссы точек пересечения. Найдем соответствующие ординаты, чтобы получить полные координаты точек:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 3^2 = 9$. Точка пересечения $A(3, 9)$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = (-1)^2 = 1$. Точка пересечения $B(-1, 1)$.

Следовательно, абсциссы точек пересечения графиков ($3$ и $-1$) в точности совпадают с корнями уравнения.

Отдельно стоит упомянуть частный случай: для уравнения вида $f(x) = 0$ мы ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с графиком $y=0$. График $y=0$ — это ось абсцисс (ось $Ox$). Поэтому корни уравнения $f(x)=0$ — это абсциссы точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью $Ox$.

Ответ: Утверждение верно. Абсциссы точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ являются корнями уравнения $f(x)=g(x)$, так как в этих точках значения функций равны ($f(x)=y$ и $g(x)=y$), что по определению означает выполнение равенства $f(x)=g(x)$.

44.20 Не выполняя построения графика, найдите наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном отрезке:

а) $[-1,5; 0,3];$

б) $[-\frac{8}{15}; 1,257];$

в) $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}];$

г) $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}].$

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$ на заданном отрезке:

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2$ на заданном отрезке, необходимо проанализировать поведение этой функции.

Функция $y = x^2$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $(0, 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума, который равен 0.

Следовательно, для нахождения наименьшего значения на отрезке $[a, b]$, нужно определить, принадлежит ли точка $x=0$ этому отрезку.

• Если $x=0$ принадлежит отрезку (то есть $a \le 0 \le b$), то наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно $y(0) = 0$.
• Если $x=0$ не принадлежит отрезку (то есть $a > 0$ или $b < 0$), то наименьшее значение нужно искать на концах отрезка.

Применим этот принцип для каждого из заданных отрезков.

а) На отрезке $[-1,5; 0,3]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-1,5; 0,3]$.

Так как $-1,5 \le 0 \le 0,3$, точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается при $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

б) На отрезке $[-\frac{8}{15}; 1,257]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{8}{15}; 1,257]$.

Так как $-\frac{8}{15} < 0$ и $1,257 > 0$, выполняется неравенство $-\frac{8}{15} \le 0 \le 1,257$. Значит, точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

в) На отрезке $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}]$.

Поскольку $-\frac{32}{101}$ — отрицательное число, а $\frac{7}{19}$ — положительное, то $-\frac{32}{101} \le 0 \le \frac{7}{19}$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Наименьшее значение функции на отрезке будет равно её значению в точке минимума $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

г) На отрезке $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}]$.

Левая граница отрезка $-\frac{45}{49}$ отрицательна, а правая граница $\frac{23}{31}$ положительна. Следовательно, $-\frac{45}{49} \le 0 \le \frac{23}{31}$, и точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

44.21 a) $\left[-1; 0\right];$

б) $\left[0; 2\right];$

в) $\left[-2; 0\right];$

г) $\left[2; 3\right].$

Данная задача, по всей видимости, предполагает анализ монотонности функции $y = f(x)$ на заданных промежутках по её графику. Стандартный график для задач такого типа показывает, что функция имеет точки экстремума (максимумы и минимумы), которые определяют её поведение. Предположим, что функция $y = f(x)$ имеет точки локального максимума при $x = -1$ и $x = 2$, а также точки локального минимума при $x = 0$ и $x = 3$. Исходя из этого, проанализируем поведение функции на каждом из предложенных промежутков.

а) $[-1; 0]$

На данном промежутке функция движется от точки локального максимума $x = -1$ к точке локального минимума $x = 0$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$. Следовательно, на отрезке $[-1; 0]$ функция убывает.

Ответ: на промежутке $[-1; 0]$ функция убывает.

б) $[0; 2]$

На данном промежутке функция движется от точки локального минимума $x = 0$ к точке локального максимума $x = 2$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ функция возрастает.

Ответ: на промежутке $[0; 2]$ функция возрастает.

в) $[-2; 0]$

Данный промежуток включает в себя точку локального максимума $x = -1$. На части промежутка, от $x = -2$ до $x = -1$, функция возрастает (движется к максимуму). На другой части, от $x = -1$ до $x = 0$, функция убывает (движется от максимума к минимуму). Поскольку на разных частях промежутка $[-2; 0]$ функция ведет себя по-разному, она не является монотонной на всем этом промежутке.

Ответ: на промежутке $[-2; 0]$ функция не является монотонной (ни возрастает, ни убывает).

г) $[2; 3]$

На данном промежутке функция движется от точки локального максимума $x = 2$ к точке локального минимума $x = 3$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$. Следовательно, на отрезке $[2; 3]$ функция убывает.

Ответ: на промежутке $[2; 3]$ функция убывает.

44.22 a) $ [-2; 2] $;

б) $ [-2; 1] $;

в) $ [-3; 2] $;

г) $ [-1; 3] $.

Предполагается, что в задаче 44.22 требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках. Из контекста задачника А.Г. Мордковича для 10-11 классов (профильный уровень), функция для этого номера: $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке $[a; b]$:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$).
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 2]$.

Все критические точки ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$) принадлежат данному отрезку. Точки $x=-2$ и $x=2$ являются его концами.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 - 9 = -9$.

$f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

Сравнивая полученные значения ($-25$, $-9$), находим, что $y_{наиб} = -9$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -9, наименьшее значение функции равно -25.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-2; 1]$ принадлежат точки $x = -2$ и $x = 0$. Точка $x=-2$ является левым концом отрезка. Правый конец отрезка - точка $x=1$.

Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 1$:

$f(-2) = -25$.

$f(0) = -9$.

$f(1) = 1^4 - 8 \cdot 1^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

Сравнивая значения ($-25$, $-9$, $-16$), находим, что $y_{наиб} = -9$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -9, наименьшее значение функции равно -25.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 2]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-3; 2]$ принадлежат все три точки. Точка $x=2$ является правым концом отрезка. Левый конец отрезка - точка $x=-3$.

Вычислим значения функции в точках $x = -3$, $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$:

$f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

$f(-2) = -25$.

$f(0) = -9$.

$f(2) = -25$.

Сравнивая значения ($0$, $-25$, $-9$), находим, что $y_{наиб} = 0$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение функции равно -25.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-1; 3]$ принадлежат точки $x = 0$ и $x=2$. Концы отрезка - точки $x=-1$ и $x=3$.

Вычислим значения функции в точках $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ и $x = 3$:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$f(0) = -9$.

$f(2) = -25$.

$f(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Сравнивая значения ($-16$, $-9$, $-25$, $0$), находим, что $y_{наиб} = 0$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение функции равно -25.

44.23 Не выполняя построения графика, найдите наибольшее значение функции $y = -x^2$ на заданном отрезке:

a) $ [-2,3; 1,62] $

б) $ [-\frac{10}{11}; 41,1] $

в) $ [-\frac{13}{27}; \frac{29}{51}] $

г) $ [-3,4; \frac{1}{16}] $

Для нахождения наибольшего значения функции $y = -x^2$ на заданном отрезке проанализируем её свойства. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=0$. В этой точке функция достигает своего максимального значения на всей числовой прямой: $y_{max} = y(0) = -0^2 = 0$.

При поиске наибольшего значения функции на замкнутом отрезке $[a, b]$, необходимо определить, входит ли точка максимума ($x=0$) в этот отрезок.

а)

Рассмотрим отрезок $[-2,3; 1,62]$. Так как левая граница отрезка отрицательна ($-2,3 < 0$), а правая — положительна ($1,62 > 0$), то точка $x=0$ принадлежит данному отрезку. Поскольку в точке $x=0$ находится глобальный максимум функции, то это значение и будет наибольшим на данном отрезке.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $0$.

б)

Рассмотрим отрезок $[-\frac{10}{11}; 41,1]$. Левая граница отрезка $-\frac{10}{11}$ отрицательна, а правая $41,1$ положительна. Следовательно, точка $x=0$ принадлежит этому отрезку. Наибольшее значение функции на этом отрезке равно значению в точке максимума.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Рассмотрим отрезок $[-\frac{13}{27}; \frac{29}{51}]$. Левая граница $-\frac{13}{27}$ является отрицательным числом, а правая $\frac{29}{51}$ — положительным. Это означает, что точка $x=0$ принадлежит данному отрезку. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке достигается при $x=0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $0$.

г)

Рассмотрим отрезок $[-3,4; \frac{1}{16}]$. Левая граница $-3,4$ отрицательна, а правая $\frac{1}{16}$ положительна. Значит, точка $x=0$ принадлежит этому отрезку. Наибольшее значение функции на этом отрезке будет равно её значению в точке максимума.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $0$.

44.24 Найдите наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном луче:

а) $[-3; +\infty)$;

б) $(-\infty; -2]$;

в) $(-\infty; 1]$;

г) $[1; +\infty)$.

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2$ на заданных лучах, необходимо проанализировать ее свойства.

Функция $y = x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Глобальный минимум функции достигается в ее вершине.

• На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает.
• На промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $[-3; +\infty)$

Заданный луч $x \in [-3; +\infty)$ включает в себя точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Так как вершина является точкой минимума для всей функции, то наименьшее значение на данном луче будет достигаться именно в этой точке.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0

б) $(-\infty; -2]$

Заданный луч $x \in (-\infty; -2]$ полностью находится на промежутке убывания функции $(-\infty; 0]$. Для убывающей функции наименьшее значение на интервале вида $(-\infty; a]$ достигается в крайней правой точке, то есть при $x=a$.

В нашем случае наименьшее значение будет при $x = -2$.

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.

Ответ: 4

в) $(-\infty; 1]$

Заданный луч $x \in (-\infty; 1]$ включает в себя точку $x=0$, где расположен глобальный минимум функции. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче также будет достигаться в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0

г) $[1; +\infty)$

Заданный луч $x \in [1; +\infty)$ полностью находится на промежутке возрастания функции $[0; +\infty)$. Для возрастающей функции наименьшее значение на интервале вида $[a; +\infty)$ достигается в крайней левой точке, то есть при $x=a$.

В нашем случае наименьшее значение будет при $x = 1$.

$y_{наим} = y(1) = 1^2 = 1$.

Ответ: 1

44.25 Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2$ на заданном луче:

а) $(-\infty; 0];$

б) $(-\infty; 3];$

в) $[2; +\infty);$

г) $(-\infty; -3].$

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $y = -x^2$ на заданном луче, проанализируем её свойства. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$. Это означает, что в точке $x=0$ функция достигает своего глобального максимума, равного $0$. На луче $(-\infty; 0]$ функция возрастает, а на луче $[0; +\infty)$ — убывает.

а) $(-\infty; 0]$
На этом луче функция $y = -x^2$ монотонно возрастает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в самой правой точке промежутка, то есть при $x = 0$.
$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.
Ответ: 0

б) $(-\infty; 3]$
Этот луч содержит точку $x=0$, в которой находится вершина параболы и достигается глобальный максимум функции. Таким образом, наибольшее значение функции на данном луче также будет в точке $x=0$.
$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.
Ответ: 0

в) $[2; +\infty)$
На этом луче функция $y = -x^2$ монотонно убывает (поскольку он является частью луча $[0; +\infty)$). Следовательно, наибольшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть при $x = 2$.
$y_{наиб} = y(2) = -(2)^2 = -4$.
Ответ: -4

г) $(-\infty; -3]$
На этом луче функция $y = -x^2$ монотонно возрастает (поскольку он является частью луча $(-\infty; 0]$). Следовательно, наибольшее значение она принимает в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -3$.
$y_{наиб} = y(-3) = -(-3)^2 = -9$.
Ответ: -9

44.26 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -4; 0; 2;

б) значения аргумента, если значение функции равно 1; 0; 9;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 2];

г) значения аргумента, при которых $1 < y < 9$.

Для решения задачи построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Для точного построения составим таблицу значений:

Соединив эти точки плавной кривой, получим график параболы. Используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

а) значения функции при значении аргумента, равном –4; 0; 2;

Чтобы найти значение функции ($y$) по значению аргумента ($x$), нужно на оси абсцисс (ось $Ox$) найти заданное значение $x$, затем найти соответствующую точку на графике и определить ее ординату.

• При $x = -4$: находим на оси $Ox$ точку –4, движемся вертикально вверх до пересечения с параболой. От этой точки движемся горизонтально вправо до оси ординат $Oy$. Получаем значение $y=16$. Аналитически: $y = (-4)^2 = 16$.
• При $x = 0$: это вершина параболы, точка $(0; 0)$, следовательно, значение функции $y=0$. Аналитически: $y = 0^2 = 0$.
• При $x = 2$: находим на оси $Ox$ точку 2, движемся вверх до параболы. От этой точки движемся горизонтально влево до оси $Oy$. Получаем значение $y=4$. Аналитически: $y = 2^2 = 4$.

Ответ: при $x = -4$ значение функции $y = 16$; при $x = 0$ значение функции $y = 0$; при $x = 2$ значение функции $y = 4$.

б) значения аргумента, если значение функции равно 1; 0; 9;

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по значению функции ($y$), нужно на оси ординат ($Oy$) найти заданное значение $y$, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком и определить абсциссы точек пересечения.

• При $y = 1$: проводим горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -1$ и $x = 1$. Аналитически: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
• При $y = 0$: прямая $y=0$ совпадает с осью $Ox$ и касается параболы в одной точке — вершине. Абсцисса этой точки $x=0$. Аналитически: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
• При $y = 9$: проводим прямую $y=9$. Она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -3$ и $x = 3$. Аналитически: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

Ответ: при $y = 1$ значения аргумента $x = -1$ и $x = 1$; при $y = 0$ значение аргумента $x = 0$; при $y = 9$ значения аргумента $x = -3$ и $x = 3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2];

Рассмотрим часть графика функции $y=x^2$ на отрезке $x \in [-1; 2]$.

• Наименьшее значение: На данном отрезке находится вершина параболы $(0; 0)$, в которой функция достигает своего глобального минимума. Так как $0 \in [-1; 2]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно $0$ и достигается при $x=0$.
• Наибольшее значение: Наибольшее значение на отрезке для параболы с вершиной внутри него достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах: при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение равно $4$. Оно достигается при $x=2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $0$, наибольшее значение равно $4$.

г) значения аргумента, при которых 1 < y < 9.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых ордината ($y$) соответствующих точек графика находится строго между $1$ и $9$. Это равносильно решению двойного неравенства $1 < x^2 < 9$.

Графически это соответствует точкам параболы, которые лежат выше прямой $y=1$ и ниже прямой $y=9$.

• Из $y > 1$ (т.е. $x^2 > 1$) следует, что $x < -1$ или $x > 1$.
• Из $y < 9$ (т.е. $x^2 < 9$) следует, что $-3 < x < 3$.

Найдем пересечение этих множеств. На числовой оси это соответствует интервалам, где оба условия выполняются одновременно. Получаем два интервала: $(-3; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

44.27 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 0; 1;

б) значения аргумента, если значение функции равно -16; -4; 0;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $ [-3; 2] $;

г) значения аргумента, при которых $-4 \le y \le -1$.

Для решения задачи построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения составим таблицу значений:

На основе этих точек строим график параболы. Далее, используя этот график и/или выполняя вычисления, находим ответы на вопросы.

а) значения функции при значении аргумента, равном –3; 0; 1;

С помощью графика или подстановкой в формулу находим ординаты (значения $y$) для заданных абсцисс ($x$).
При $x = -3$, находим на графике соответствующую точку или вычисляем: $y = -(-3)^2 = -9$.
При $x = 0$, точка является вершиной параболы: $y = -(0)^2 = 0$.
При $x = 1$, находим на графике или вычисляем: $y = -(1)^2 = -1$.
Ответ: при $x = -3$ значение функции $y = -9$; при $x = 0$ значение $y = 0$; при $x = 1$ значение $y = -1$.

б) значения аргумента, если значение функции равно –16; –4; 0;

С помощью графика находим абсциссы ($x$) точек, ординаты ($y$) которых равны –16, –4 и 0. Для этого проводим горизонтальные прямые и ищем точки их пересечения с параболой.
Если $y = -16$, то $-16 = -x^2$, откуда $x^2 = 16$. Это уравнение имеет два корня: $x = 4$ и $x = -4$.
Если $y = -4$, то $-4 = -x^2$, откуда $x^2 = 4$. Корни уравнения: $x = 2$ и $x = -2$.
Если $y = 0$, то $0 = -x^2$, откуда $x = 0$.
Ответ: при $y = -16$ значения аргумента $x = \pm 4$; при $y = -4$ значения $x = \pm 2$; при $y = 0$ значение $x = 0$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–3; 2];

Рассматриваем часть графика, для которой $x \in [-3; 2]$.
Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в самой высокой точке графика. Так как вершина параболы $x=0$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$, а ветви параболы направлены вниз, то наибольшее значение функции достигается в вершине: $y_{наиб} = y(0) = 0$.
Наименьшее значение ищем на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -3$ и $x = 2$:
$y(-3) = -(-3)^2 = -9$
$y(2) = -(2)^2 = -4$
Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее из них равно -9. Таким образом, $y_{наим} = -9$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[–3; 2]$ равно 0, а наименьшее равно –9.

г) значения аргумента, при которых $-4 \le y \le -1$.

Нам нужно найти значения $x$, для которых ордината графика лежит в диапазоне от -4 до -1 включительно. Это соответствует решению двойного неравенства: $-4 \le -x^2 \le -1$.
Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $4 \ge x^2 \ge 1$, или, что то же самое, $1 \le x^2 \le 4$.
Это неравенство равносильно системе двух неравенств: $\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$.
Решением неравенства $x^2 \ge 1$ является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Решением неравенства $x^2 \le 4$ является отрезок $[-2; 2]$.
Нам нужно найти пересечение этих решений. На числовой оси это будет два отрезка: от -2 до -1 и от 1 до 2.
Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.