Номер 44.24, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.24 Найдите наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном луче:

а) $[-3; +\infty)$;

б) $(-\infty; -2]$;

в) $(-\infty; 1]$;

г) $[1; +\infty)$.

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2$ на заданных лучах, необходимо проанализировать ее свойства.

Функция $y = x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Глобальный минимум функции достигается в ее вершине.

• На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает.
• На промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $[-3; +\infty)$

Заданный луч $x \in [-3; +\infty)$ включает в себя точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Так как вершина является точкой минимума для всей функции, то наименьшее значение на данном луче будет достигаться именно в этой точке.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0

б) $(-\infty; -2]$

Заданный луч $x \in (-\infty; -2]$ полностью находится на промежутке убывания функции $(-\infty; 0]$. Для убывающей функции наименьшее значение на интервале вида $(-\infty; a]$ достигается в крайней правой точке, то есть при $x=a$.

В нашем случае наименьшее значение будет при $x = -2$.

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.

Ответ: 4

в) $(-\infty; 1]$

Заданный луч $x \in (-\infty; 1]$ включает в себя точку $x=0$, где расположен глобальный минимум функции. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче также будет достигаться в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0

г) $[1; +\infty)$

Заданный луч $x \in [1; +\infty)$ полностью находится на промежутке возрастания функции $[0; +\infty)$. Для возрастающей функции наименьшее значение на интервале вида $[a; +\infty)$ достигается в крайней левой точке, то есть при $x=a$.

В нашем случае наименьшее значение будет при $x = 1$.

$y_{наим} = y(1) = 1^2 = 1$.

Ответ: 1