Номер 44.26, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.26 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -4; 0; 2;

б) значения аргумента, если значение функции равно 1; 0; 9;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 2];

г) значения аргумента, при которых $1 < y < 9$.

Для решения задачи построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Для точного построения составим таблицу значений:

Соединив эти точки плавной кривой, получим график параболы. Используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

а) значения функции при значении аргумента, равном –4; 0; 2;

Чтобы найти значение функции ($y$) по значению аргумента ($x$), нужно на оси абсцисс (ось $Ox$) найти заданное значение $x$, затем найти соответствующую точку на графике и определить ее ординату.

• При $x = -4$: находим на оси $Ox$ точку –4, движемся вертикально вверх до пересечения с параболой. От этой точки движемся горизонтально вправо до оси ординат $Oy$. Получаем значение $y=16$. Аналитически: $y = (-4)^2 = 16$.
• При $x = 0$: это вершина параболы, точка $(0; 0)$, следовательно, значение функции $y=0$. Аналитически: $y = 0^2 = 0$.
• При $x = 2$: находим на оси $Ox$ точку 2, движемся вверх до параболы. От этой точки движемся горизонтально влево до оси $Oy$. Получаем значение $y=4$. Аналитически: $y = 2^2 = 4$.

Ответ: при $x = -4$ значение функции $y = 16$; при $x = 0$ значение функции $y = 0$; при $x = 2$ значение функции $y = 4$.

б) значения аргумента, если значение функции равно 1; 0; 9;

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по значению функции ($y$), нужно на оси ординат ($Oy$) найти заданное значение $y$, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком и определить абсциссы точек пересечения.

• При $y = 1$: проводим горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -1$ и $x = 1$. Аналитически: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
• При $y = 0$: прямая $y=0$ совпадает с осью $Ox$ и касается параболы в одной точке — вершине. Абсцисса этой точки $x=0$. Аналитически: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
• При $y = 9$: проводим прямую $y=9$. Она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -3$ и $x = 3$. Аналитически: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

Ответ: при $y = 1$ значения аргумента $x = -1$ и $x = 1$; при $y = 0$ значение аргумента $x = 0$; при $y = 9$ значения аргумента $x = -3$ и $x = 3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2];

Рассмотрим часть графика функции $y=x^2$ на отрезке $x \in [-1; 2]$.

• Наименьшее значение: На данном отрезке находится вершина параболы $(0; 0)$, в которой функция достигает своего глобального минимума. Так как $0 \in [-1; 2]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно $0$ и достигается при $x=0$.
• Наибольшее значение: Наибольшее значение на отрезке для параболы с вершиной внутри него достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах: при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение равно $4$. Оно достигается при $x=2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $0$, наибольшее значение равно $4$.

г) значения аргумента, при которых 1 < y < 9.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых ордината ($y$) соответствующих точек графика находится строго между $1$ и $9$. Это равносильно решению двойного неравенства $1 < x^2 < 9$.

Графически это соответствует точкам параболы, которые лежат выше прямой $y=1$ и ниже прямой $y=9$.

• Из $y > 1$ (т.е. $x^2 > 1$) следует, что $x < -1$ или $x > 1$.
• Из $y < 9$ (т.е. $x^2 < 9$) следует, что $-3 < x < 3$.

Найдем пересечение этих множеств. На числовой оси это соответствует интервалам, где оба условия выполняются одновременно. Получаем два интервала: $(-3; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.