Номер 44.20, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.20 Не выполняя построения графика, найдите наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном отрезке:

а) $[-1,5; 0,3];$

б) $[-\frac{8}{15}; 1,257];$

в) $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}];$

г) $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}].$

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$ на заданном отрезке:

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2$ на заданном отрезке, необходимо проанализировать поведение этой функции.

Функция $y = x^2$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $(0, 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума, который равен 0.

Следовательно, для нахождения наименьшего значения на отрезке $[a, b]$, нужно определить, принадлежит ли точка $x=0$ этому отрезку.

• Если $x=0$ принадлежит отрезку (то есть $a \le 0 \le b$), то наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно $y(0) = 0$.
• Если $x=0$ не принадлежит отрезку (то есть $a > 0$ или $b < 0$), то наименьшее значение нужно искать на концах отрезка.

Применим этот принцип для каждого из заданных отрезков.

а) На отрезке $[-1,5; 0,3]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-1,5; 0,3]$.

Так как $-1,5 \le 0 \le 0,3$, точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается при $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

б) На отрезке $[-\frac{8}{15}; 1,257]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{8}{15}; 1,257]$.

Так как $-\frac{8}{15} < 0$ и $1,257 > 0$, выполняется неравенство $-\frac{8}{15} \le 0 \le 1,257$. Значит, точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

в) На отрезке $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{32}{101}; \frac{7}{19}]$.

Поскольку $-\frac{32}{101}$ — отрицательное число, а $\frac{7}{19}$ — положительное, то $-\frac{32}{101} \le 0 \le \frac{7}{19}$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Наименьшее значение функции на отрезке будет равно её значению в точке минимума $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.

г) На отрезке $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}]$.

Проверим, принадлежит ли точка $x=0$ отрезку $[-\frac{45}{49}; \frac{23}{31}]$.

Левая граница отрезка $-\frac{45}{49}$ отрицательна, а правая граница $\frac{23}{31}$ положительна. Следовательно, $-\frac{45}{49} \le 0 \le \frac{23}{31}$, и точка $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: 0.