Номер 44.13, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.13 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при $x = -1, x = 1$;

б) значения аргумента при $y = -1$;

в) значения $x$, если $y < -1, y > -1$;

г) значения $y$, если $-1 < x < 0$.

Используя выделенную цветом часть графика функции $y = x^2$, найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть:

Сначала построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, точке (0, 0). График симметричен относительно оси Oy. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0, y = -0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -1^2 = -1$ → (1; -1)
• при $x = -1, y = -(-1)^2 = -1$ → (-1; -1)
• при $x = 2, y = -2^2 = -4$ → (2; -4)
• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$ → (-2; -4)

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы $y = -x^2$. Теперь, используя этот (воображаемый) график, ответим на вопросы.

а) значения функции при $x = -1, x = 1$;
Находим на оси абсцисс (оси x) точки $x = -1$ и $x = 1$. Из этих точек мысленно проводим вертикальные линии до пересечения с графиком. Из точек пересечения проводим горизонтальные линии до оси ординат (оси y). Для обоих значений $x$ получаем одно и то же значение $y$.
При $x = -1$, точка на графике (-1, -1), следовательно, $y = -1$.
При $x = 1$, точка на графике (1, -1), следовательно, $y = -1$.
Ответ: при $x = -1$ $y = -1$; при $x = 1$ $y = -1$.

б) значения аргумента при $y = -1$;
Находим на оси ординат (оси y) точку $y = -1$. Проводим через нее горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Находим абсциссы этих точек, опустив из них перпендикуляры на ось x.
Точки пересечения имеют координаты (-1, -1) и (1, -1). Соответствующие значения аргумента: $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x = -1, x = 1$.

в) значения $x$, если $y < -1, y > -1$;
Для $y < -1$: на графике это части параболы, которые лежат ниже прямой $y = -1$. Это происходит, когда $x$ находится левее точки $x = -1$ или правее точки $x = 1$. Таким образом, $y < -1$ при $x < -1$ или $x > 1$.
Для $y > -1$: на графике это часть параболы, которая лежит выше прямой $y = -1$. Это "арка" параболы между точками (-1, -1) и (1, -1). Это условие выполняется для всех $x$ в интервале от -1 до 1. Таким образом, $y > -1$ при $-1 < x < 1$.
Ответ: $y < -1$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$; $y > -1$ при $x \in (-1; 1)$.

г) значения $y$, если $-1 < x < 0$.
Рассмотрим часть графика, где абсцисса $x$ изменяется в интервале от -1 до 0 (не включая концы). При $x = -1$ значение функции $y = -1$, а при $x = 0$ значение функции $y = 0$. На интервале $(-1, 0)$ функция $y = -x^2$ монотонно возрастает. Следовательно, значения функции будут находиться строго между значениями на концах этого интервала.
Ответ: $-1 < y < 0$.

Используя выделенную цветом часть графика функции $y = x^2$, найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть:

Для решения этой задачи необходимо видеть изображение графика с выделенной частью, которое в условии отсутствует. Решение зависит от того, какой именно участок параболы $y = x^2$ выделен.

В качестве примера предположим, что на графике функции $y = x^2$ (парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0, 0)) выделена часть, соответствующая промежутку по оси абсцисс от -2 до 1, то есть $x \in [-2, 1]$.

1. Промежуток оси абсцисс:
   По нашему предположению, выделенная часть соответствует промежутку $x \in [-2, 1]$.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции:
   Функция $y = x^2$ имеет наименьшее значение в своей вершине ($x = 0$). Поскольку точка $x = 0$ входит в наш промежуток $[-2, 1]$, наименьшее значение функции на этом промежутке будет $y_{наим} = 0^2 = 0$.
   Наибольшее значение на отрезке для данной параболы достигается на том конце отрезка, который наиболее удален от вершины ($x=0$). Сравним значения функции на концах промежутка $x=-2$ и $x=1$:
   $y(-2) = (-2)^2 = 4$
   $y(1) = 1^2 = 1$
   Наибольшее из этих значений равно 4. Следовательно, $y_{наиб} = 4$.

Ответ: Так как конкретная выделенная часть графика не указана, дать однозначный ответ невозможно. Если предположить, что выделен участок, соответствующий $x \in [-2, 1]$, то промежуток оси абсцисс — это $[-2, 1]$, наименьшее значение функции на нем равно 0, а наибольшее — 4.