Номер 44.12, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.12 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при $x = -2, x = 2$;

б) значения аргумента при $y = 4$;

в) значения $x$, если $y < 4, y > 4$;

г) значения $y$, если $0 < x < 2$.

Для решения задачи построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$
• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы. Далее, используя этот график, ответим на вопросы.

а) значения функции при $x = -2, x = 2$

Чтобы найти значение функции при $x = -2$, находим на оси абсцисс (оси $Ox$) точку $x = -2$. Из этой точки проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат (оси $Oy$) и находим соответствующее значение $y$. Для $x = -2$ получаем $y = 4$.
Аналогично, для $x = 2$ находим на оси $Ox$ точку $x = 2$, поднимаемся до графика и движемся к оси $Oy$. Получаем, что при $x = 2$ значение функции также равно 4. Это свойство чётной функции, какой и является парабола $y = x^2$.
Ответ: при $x = -2$ $y=4$; при $x = 2$ $y=4$.

б) значения аргумента при $y = 4$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых $y = 4$, находим на оси ординат (оси $Oy$) точку $y = 4$. Проводим через эту точку горизонтальную прямую $y = 4$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Опускаем из этих точек перпендикуляры на ось абсцисс (ось $Ox$) и находим соответствующие значения $x$. Получаем $x = -2$ и $x = 2$.
Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

в) значения $x$, если $y < 4, y > 4$

Чтобы найти значения $x$, при которых $y < 4$, находим на графике все точки, у которых ордината (координата $y$) меньше 4. Эти точки лежат на части параболы, расположенной ниже прямой $y=4$. Эта часть параболы соответствует значениям $x$, заключенным между точками пересечения, то есть между -2 и 2. Таким образом, $y < 4$ при $-2 < x < 2$.
Чтобы найти значения $x$, при которых $y > 4$, находим на графике точки, у которых ордината больше 4. Эти точки лежат на частях параболы, расположенных выше прямой $y=4$. Эти части соответствуют значениям $x$, которые меньше -2 или больше 2. Таким образом, $y > 4$ при $x < -2$ или $x > 2$.
Ответ: $y < 4$ при $x \in (-2; 2)$; $y > 4$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

г) значения $y$, если $0 < x < 2$

Чтобы найти значения $y$, соответствующие интервалу $0 < x < 2$, рассмотрим на оси $Ox$ этот интервал. Соответствующая ему часть графика - это дуга параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$ и заканчивающаяся в точке $(2,4)$ (концевые точки не включаются). Значения $y$ для этой дуги изменяются от 0 до 4. Так как на интервале $(0; 2)$ функция $y=x^2$ строго возрастает, то значения $y$ будут строго между $y(0)=0$ и $y(2)=4$. Таким образом, если $0 < x < 2$, то $0 < y < 4$.
Ответ: $0 < y < 4$.