Номер 44.18, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.18 а) $[1; 2];$

б) $[-2; -1];$

в) $[0; 1];$

г) $[-3; 0].$

Для решения всех пунктов задачи необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ на заданных отрезках.Сначала найдем производную функции, чтобы определить ее критические точки. Используем правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x^2+8}{x+1}\right)' = \frac{(x^2+8)'(x+1) - (x^2+8)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - (x^2+8)\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-x^2-8}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x=-1$, но эта точка не входит в область определения функции.Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies x^2+2x-8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.Теперь проанализируем каждый отрезок.

а) [1; 2]

Функция $y(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 2]$.

Из критических точек ($2$ и $-4$) в данный отрезок попадает только точка $x=2$, которая является его концом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(1) = \frac{1^2+8}{1+1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

$y(2) = \frac{2^2+8}{2+1} = \frac{4+8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Сравнивая эти два значения, получаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно $4.5$, а наименьшее — $4$.

Ответ: наибольшее значение $4.5$, наименьшее значение $4$.

б) [-2; -1]

Функция $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ не определена в точке $x=-1$, которая является правым концом заданного отрезка. Таким образом, нельзя говорить о значениях функции на всем отрезке $[-2; -1]$.

Рассмотрим поведение функции на полуинтервале $[-2; -1)$. На этом промежутке функция непрерывна.

Критические точки $x=2$ и $x=-4$ не принадлежат интервалу $(-2; -1)$.

Определим знак производной $y' = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$ на этом интервале. Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен. Числитель $x^2+2x-8 = (x-2)(x+4)$. Для любого $x$ из интервала $(-2; -1)$, множитель $(x-2)$ отрицателен, а множитель $(x+4)$ положителен. Следовательно, числитель отрицателен, и $y' < 0$. Это значит, что функция убывает на $[-2; -1)$.

Таким образом, наибольшее значение достигается в левой точке отрезка:

$y_{наиб} = y(-2) = \frac{(-2)^2+8}{-2+1} = \frac{4+8}{-1} = -12$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим предел функции при $x \to -1$ слева:

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+8}{x+1} = -\infty$, так как числитель стремится к $9$, а знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным.

Так как функция стремится к минус бесконечности, она не ограничена снизу на данном промежутке, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение $-12$, наименьшего значения не существует.

в) [0; 1]

Функция $y(x)$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$.

Критические точки $x=2$ и $x=-4$ не принадлежат этому отрезку. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$y(0) = \frac{0^2+8}{0+1} = \frac{8}{1} = 8$.

$y(1) = \frac{1^2+8}{1+1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $8$, а наименьшее — $4.5$.

Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее значение $4.5$.

г) [-3; 0]

Функция $y(x) = \frac{x^2+8}{x+1}$ имеет разрыв в точке $x=-1$, которая находится внутри отрезка $[-3; 0]$. В этой точке находится вертикальная асимптота.

Рассмотрим поведение функции вблизи точки разрыва:

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+8}{x+1} = -\infty$ (при подходе к $-1$ слева, например, $x=-1.001$).

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+8}{x+1} = +\infty$ (при подходе к $-1$ справа, например, $x=-0.999$).

Поскольку на отрезке $[-3; 0]$ значения функции стремятся как к $+\infty$, так и к $-\infty$, функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

Следовательно, на данном отрезке функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.