Номер 44.22, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.22 a) $ [-2; 2] $;

б) $ [-2; 1] $;

в) $ [-3; 2] $;

г) $ [-1; 3] $.

Предполагается, что в задаче 44.22 требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках. Из контекста задачника А.Г. Мордковича для 10-11 классов (профильный уровень), функция для этого номера: $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке $[a; b]$:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$).
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 2]$.

Все критические точки ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$) принадлежат данному отрезку. Точки $x=-2$ и $x=2$ являются его концами.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 - 9 = -9$.

$f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

Сравнивая полученные значения ($-25$, $-9$), находим, что $y_{наиб} = -9$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -9, наименьшее значение функции равно -25.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-2; 1]$ принадлежат точки $x = -2$ и $x = 0$. Точка $x=-2$ является левым концом отрезка. Правый конец отрезка - точка $x=1$.

Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 1$:

$f(-2) = -25$.

$f(0) = -9$.

$f(1) = 1^4 - 8 \cdot 1^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

Сравнивая значения ($-25$, $-9$, $-16$), находим, что $y_{наиб} = -9$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -9, наименьшее значение функции равно -25.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 2]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-3; 2]$ принадлежат все три точки. Точка $x=2$ является правым концом отрезка. Левый конец отрезка - точка $x=-3$.

Вычислим значения функции в точках $x = -3$, $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$:

$f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

$f(-2) = -25$.

$f(0) = -9$.

$f(2) = -25$.

Сравнивая значения ($0$, $-25$, $-9$), находим, что $y_{наиб} = 0$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение функции равно -25.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$.

Из критических точек ($x=0, x=2, x=-2$) отрезку $[-1; 3]$ принадлежат точки $x = 0$ и $x=2$. Концы отрезка - точки $x=-1$ и $x=3$.

Вычислим значения функции в точках $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ и $x = 3$:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$f(0) = -9$.

$f(2) = -25$.

$f(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Сравнивая значения ($-16$, $-9$, $-25$, $0$), находим, что $y_{наиб} = 0$ и $y_{наим} = -25$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение функции равно -25.