Номер 44.27, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.27 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 0; 1;

б) значения аргумента, если значение функции равно -16; -4; 0;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $ [-3; 2] $;

г) значения аргумента, при которых $-4 \le y \le -1$.

Для решения задачи построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения составим таблицу значений:

На основе этих точек строим график параболы. Далее, используя этот график и/или выполняя вычисления, находим ответы на вопросы.

а) значения функции при значении аргумента, равном –3; 0; 1;

С помощью графика или подстановкой в формулу находим ординаты (значения $y$) для заданных абсцисс ($x$).
При $x = -3$, находим на графике соответствующую точку или вычисляем: $y = -(-3)^2 = -9$.
При $x = 0$, точка является вершиной параболы: $y = -(0)^2 = 0$.
При $x = 1$, находим на графике или вычисляем: $y = -(1)^2 = -1$.
Ответ: при $x = -3$ значение функции $y = -9$; при $x = 0$ значение $y = 0$; при $x = 1$ значение $y = -1$.

б) значения аргумента, если значение функции равно –16; –4; 0;

С помощью графика находим абсциссы ($x$) точек, ординаты ($y$) которых равны –16, –4 и 0. Для этого проводим горизонтальные прямые и ищем точки их пересечения с параболой.
Если $y = -16$, то $-16 = -x^2$, откуда $x^2 = 16$. Это уравнение имеет два корня: $x = 4$ и $x = -4$.
Если $y = -4$, то $-4 = -x^2$, откуда $x^2 = 4$. Корни уравнения: $x = 2$ и $x = -2$.
Если $y = 0$, то $0 = -x^2$, откуда $x = 0$.
Ответ: при $y = -16$ значения аргумента $x = \pm 4$; при $y = -4$ значения $x = \pm 2$; при $y = 0$ значение $x = 0$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–3; 2];

Рассматриваем часть графика, для которой $x \in [-3; 2]$.
Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в самой высокой точке графика. Так как вершина параболы $x=0$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$, а ветви параболы направлены вниз, то наибольшее значение функции достигается в вершине: $y_{наиб} = y(0) = 0$.
Наименьшее значение ищем на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -3$ и $x = 2$:
$y(-3) = -(-3)^2 = -9$
$y(2) = -(2)^2 = -4$
Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее из них равно -9. Таким образом, $y_{наим} = -9$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[–3; 2]$ равно 0, а наименьшее равно –9.

г) значения аргумента, при которых $-4 \le y \le -1$.

Нам нужно найти значения $x$, для которых ордината графика лежит в диапазоне от -4 до -1 включительно. Это соответствует решению двойного неравенства: $-4 \le -x^2 \le -1$.
Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $4 \ge x^2 \ge 1$, или, что то же самое, $1 \le x^2 \le 4$.
Это неравенство равносильно системе двух неравенств: $\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$.
Решением неравенства $x^2 \ge 1$ является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Решением неравенства $x^2 \le 4$ является отрезок $[-2; 2]$.
Нам нужно найти пересечение этих решений. На числовой оси это будет два отрезка: от -2 до -1 и от 1 до 2.
Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.