Номер 44.32, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Постройте график функции $y = x^2$ на заданном промежутке:

44.32

a) $(1; 3)$;

б) $[-2; 2]$;

в) $(0; 2)$;

г) $[-2; -1]$.

Для построения графика функции $y = x^2$ на заданных промежутках, мы сначала определим ключевые точки (в основном, на концах промежутков) и затем соединим их плавной кривой, учитывая, что график является частью параболы с вершиной в точке $(0; 0)$.

а) (1; 3)

Требуется построить график функции $y = x^2$ на открытом интервале $(1; 3)$. Это означает, что переменная $x$ принимает значения строго больше 1 и строго меньше 3.

1. Найдем значения функции на границах интервала. Эти точки не будут принадлежать графику, поэтому на чертеже их принято отмечать "выколотыми" (пустыми) кружками.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Координаты граничной точки: $(1; 1)$.
При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты граничной точки: $(3; 9)$.

2. Найдем промежуточную точку для большей точности.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2; 4)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем выколотые точки $(1; 1)$ и $(3; 9)$. Затем проводим через них и точку $(2; 4)$ плавную кривую, которая является частью правой ветви параболы.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на интервале $(1; 3)$ является дуга параболы, соединяющая точки $(1; 1)$ и $(3; 9)$, при этом сами эти точки на концах дуги не включаются в график (изображаются выколотыми).

б) [-2; 2]

Требуется построить график функции $y = x^2$ на замкнутом отрезке $[-2; 2]$. Это означает, что $x$ принимает значения от -2 до 2, включая сами числа -2 и 2.

1. Найдем значения функции на границах отрезка. Эти точки будут принадлежать графику, поэтому их отмечают закрашенными кружками.
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(-2; 4)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(2; 4)$.

2. Найдем несколько ключевых промежуточных точек.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1; 1)$ принадлежит графику.
При $x = 0$ (вершина параболы), $y = 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$ принадлежит графику.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем закрашенные точки $(-2; 4)$ и $(2; 4)$. Затем проводим через них и точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$ плавную кривую. График будет симметричен относительно оси OY.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 2]$ является часть параболы, включающая вершину в точке $(0; 0)$ и ограниченная точками $(-2; 4)$ и $(2; 4)$, которые также принадлежат графику.

в) (0; 2)

Требуется построить график функции $y = x^2$ на открытом интервале $(0; 2)$. Это означает, что $0 < x < 2$.

1. Найдем значения функции на границах интервала. Эти точки будут выколотыми.
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Координаты граничной точки: $(0; 0)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(2; 4)$.

2. Найдем промежуточную точку.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем выколотые точки $(0; 0)$ (вершина параболы) и $(2; 4)$. Соединяем их плавной кривой, проходящей через точку $(1; 1)$. Это будет часть правой ветви параболы.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на интервале $(0; 2)$ является дуга параболы, соединяющая точку $(0; 0)$ и точку $(2; 4)$. Обе граничные точки не принадлежат графику и изображаются выколотыми.

г) [-2; -1]

Требуется построить график функции $y = x^2$ на замкнутом отрезке $[-2; -1]$. Это означает, что $-2 \le x \le -1$.

1. Найдем значения функции на границах отрезка. Эти точки будут закрашенными.
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты граничной точки: $(-2; 4)$.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Координаты граничной точки: $(-1; 1)$.

2. Найдем промежуточную точку для наглядности.
При $x = -1.5$, $y = (-1.5)^2 = 2.25$. Точка $(-1.5; 2.25)$ принадлежит графику.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем закрашенные точки $(-2; 4)$ и $(-1; 1)$. Соединяем их плавной кривой, которая является частью левой ветви параболы. На этом отрезке функция убывает.

Ответ: Графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; -1]$ является дуга параболы, соединяющая точки $(-2; 4)$ и $(-1; 1)$. Обе граничные точки принадлежат графику.