Номер 44.36, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.36 а) $(-2; 1)$;

б) $(-2; 3]$;

в) $[-1; +\infty)$;

г) $[-3; 1]$.

а)

Данный интервал $(-2; 1)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $-2 < x < 1$. Чтобы составить неравенство с таким решением, можно использовать квадратичную функцию. Концы интервала, числа $-2$ и $1$, будут корнями соответствующего квадратного уравнения. Составим выражение, которое обращается в ноль в этих точках: $(x - (-2))(x - 1) = (x+2)(x-1)$.

После раскрытия скобок получаем: $x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$. Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть на интервале $(-2; 1)$. Так как исходный интервал строгий (с круглыми скобками), неравенство также должно быть строгим.

Ответ: $x^2 + x - 2 < 0$.

б)

Данный полуинтервал $(-2; 3]$ соответствует множеству всех действительных чисел $x$, для которых одновременно выполняются два условия: $x > -2$ и $x \le 3$. Для получения такого решения удобно использовать дробно-рациональное неравенство. Точка $x=3$ должна быть корнем числителя (чтобы неравенство могло выполняться как равенство), а точка $x=-2$ — корнем знаменателя (чтобы она была исключена из решения, так как на ноль делить нельзя).

Составим дробь $\frac{x-3}{x+2}$ и исследуем её знак методом интервалов. Критические точки $x=3$ (корень числителя) и $x=-2$ (корень знаменателя) разбивают числовую ось на интервалы.

• При $x \in (-2; 3)$, например $x=0$, дробь $\frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
• При $x = 3$, дробь равна $0$.
• При $x > 3$ или $x < -2$, дробь положительна.

Нам нужен промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это соответствует значениям $x$ из полуинтервала $(-2; 3]$. Таким образом, неравенство должно быть нестрогим.

Ответ: $\frac{x-3}{x+2} \le 0$.

в)

Данный числовой луч $[-1; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge -1$.

Можно составить иррациональное неравенство, множество решений которого совпадает с его областью допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge 0$. Оно будет выполняться для всех $x$, для которых корень определён, так как значение арифметического квадратного корня по определению всегда неотрицательно.

Для функции $y=\sqrt{x+1}$ область определения задаётся условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что равносильно $x \ge -1$. Это в точности совпадает с требуемым множеством решений.

Ответ: $\sqrt{x+1} \ge 0$.

г)

Данный отрезок $[-3; 1]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $-3 \le x \le 1$.

Аналогично пункту а), используем квадратичное неравенство. Концы отрезка, $-3$ и $1$, являются корнями квадратного трехчлена $(x - (-3))(x - 1) = (x+3)(x-1)$.

Раскрыв скобки, получаем $x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неположительные значения (меньше или равные нулю) функция принимает на отрезке между корнями, включая сами корни. Поэтому неравенство должно быть нестрогим.

Ответ: $x^2 + 2x - 3 \le 0$.