Номер 44.39, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$ на заданном промежутке:

44.39 a) $[-2; \frac{3}{7}];$

б) $(-0,7; 3];$

в) $[-1,5; 0];$

г) $[-1; \frac{1}{4}).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -x^2$ на заданном промежутке проанализируем её свойства. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вершина является точкой глобального максимума, где $y_{наиб} = 0$. Функция убывает при удалении от $x=0$ в любую сторону.

a) На промежутке $\left[-2; \frac{3}{7}\right]$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-2 \le 0 \le \frac{3}{7}$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x=0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции в этих точках:

$y(-2) = -(-2)^2 = -4$.

$y\left(\frac{3}{7}\right) = -\left(\frac{3}{7}\right)^2 = -\frac{9}{49}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-4 < -\frac{9}{49}$. Значит, наименьшее значение функции равно $-4$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -4$.

б) На промежутке $(-0,7; 3]$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-0,7 < 0 \le 3$. Значит, наибольшее значение функции на этом промежутке равно $0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Для нахождения наименьшего значения сравним, какой из концов промежутка находится дальше от вершины $x=0$. $|-0,7| = 0,7$, а $|3| = 3$. Точка $x=3$ находится дальше. Так как ветви параболы направлены вниз, наименьшее значение будет в точке, наиболее удаленной от вершины.

Поскольку точка $x=3$ включена в промежуток, наименьшее значение достигается в ней.

$y_{наим} = y(3) = -(3)^2 = -9$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -9$.

в) На промежутке $[-1,5; 0]$:

Данный промежуток целиком лежит на участке возрастания функции $y=-x^2$ (включая ее максимум). Поэтому наименьшее значение будет на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1,5) = -(-1,5)^2 = -2,25$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -2,25$.

г) На промежутке $\left[-1; \frac{1}{4}\right)$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 0 < \frac{1}{4}$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Для нахождения наименьшего значения рассмотрим значения на концах. Левый конец $x=-1$ включен в промежуток, а правый $x=\frac{1}{4}$ — нет.

$y(-1) = -(-1)^2 = -1$.

При приближении к $x=\frac{1}{4}$ справа, значение функции стремится к $y\left(\frac{1}{4}\right) = -\left(\frac{1}{4}\right)^2 = -\frac{1}{16}$.

Сравнивая значение $y(-1) = -1$ со значениями на интервале $\left[0, \frac{1}{4}\right)$, которые лежат в полуинтервале $\left(-\frac{1}{16}, 0\right]$, делаем вывод, что наименьшим значением на всем заданном промежутке является $-1$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -1$.