Номер 44.45, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.45 Пусть $P$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 3]$,
а $Q$ — наименьшее значение той же функции на луче $(-\infty; 2]$.
Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наименьшего значения P

По условию, $P$ — это наименьшее значение функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 3]$. Функция $y = x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$. Вершина параболы является точкой глобального минимума функции. Нам нужно найти наименьшее значение на интервале $x \in (-\infty; 3]$. Поскольку абсцисса вершины $x = 0$ принадлежит этому интервалу ($0 \in (-\infty; 3]$), наименьшее значение функции на данном луче будет достигаться именно в вершине. Найдем это значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$. Следовательно, $P = 0$.
Ответ: $P = 0$.

2. Нахождение наименьшего значения Q

По условию, $Q$ — это наименьшее значение той же функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 2]$. Аналогично предыдущему пункту, мы ищем наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном интервале. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины $x = 0$ лучу $(-\infty; 2]$. Да, принадлежит ($0 \in (-\infty; 2]$). Значит, наименьшее значение функции на этом луче также достигается в вершине. Найдем это значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$. Следовательно, $Q = 0$.
Ответ: $Q = 0$.

3. Сравнение P и Q

Мы получили, что наименьшее значение $P = 0$ и наименьшее значение $Q = 0$. Сравнивая эти два значения, мы приходим к выводу, что они равны.
Ответ: $P = Q$.

4. Графическая иллюстрация

На графике ниже изображена парабола $y = x^2$.

• Синим цветом показана часть параболы, соответствующая лучу $(-\infty; 3]$, на котором определяется значение $P$. Крайняя правая точка этого участка — $(3, 9)$.
• Красным цветом поверх синего показана часть параболы, соответствующая лучу $(-\infty; 2]$, на котором определяется значение $Q$. Крайняя правая точка этого участка — $(2, 4)$.

Как видно из графика, для обоих интервалов самая низкая точка графика — это вершина параболы $(0, 0)$. Поэтому наименьшее значение функции в обоих случаях равно 0.